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해법·계산 보다는 추론, 추리력에 중점

달라지는 수학교육
'뉴 수학' 이해하기

국가의 근간이 되는 교육, 그중에서도 가장 핵심이 되는 것이 수학이다. 수학은 숫자를 다루는 학문이 아니고 논리를 배우는 과정이다. 그래서 수학의 고급 과정으로 들어가면 숫자는 없고 수식만이 난무한다. 최근 미국의 수학이 변하고 있다고 한다. 부모가 수학까지 알 필요가 있나 싶지만 자녀의 성장과 사고의 논리를 이해하는데 도움이 될 것이다. US뉴스가 소개한 뉴수학을 알아본다.

수년 전 한국에서 미국은 고교과정에서 미적분을 배우지 않는다며 수학과정에서 미적분을 빼자는 주장이 나왔던 적이 있다. 누군가 미적분을 배우는 과정이 고통스러웠던 것으로 보이지만 아무래도 미적분을 배우는 이유를 제대로 알지 못해서 나온 의견이다. 비록 미적분이 어려울 지라도 꼭 배워야 한다는 것이 대부분 교육자들의 일치하는 결론이다.

미국은 실제로 고교과정에 미적분이 없다고 해도 과언이 아니다. 하지만 대학선수과목인 AP캘큘러스가 있다. AB와 BC가 있어서 향후 대학전공에 맞춰 선택할 수가 있다. 그래서 위의 주장은 반은 맞고 반은 틀린 것으로 볼 수 있다.

미국의 새로운 수학으로 가장 고통스러워 하는 사람들은 아마도 교사들인 것같다. 수학전공자들이야 훈련이 잘 돼 어려움이 없지만 초등학교 교사가 수학을 가르칠 때 어려움이 있을 수 있다. 그래도 아직까지는 잘 따라오고 있는 것으로 보인다. 미국에서 수학개혁, 수학혁명이 몇번 시도됐지만 새로운 것을 받아들이기 꺼려했던 측의 방해로 실패한 선례가 있다.

우선 기존의 수학 수업은 교사가 문제를 풀어주면서 설명한다. 학생들은 메모를 하면서 교사의 절차를 따라했다. 추상적인 부분도 일단 따라하면서 이해해야 했다. 절차와 사고를 흉내내서 외우다보니 논리력 향상에는 큰 도움이 되지 못했다는 반성이 있다.

반면 수년전 도입된 커먼코어는 많이 다르게 접근한다. 분석, 근사화(approximating), 그룹화(grouping) 같은 8가지 수학적 실습이 제공되면서 학생들이 문제를 이해하고 해결하도록 도와준다. 수학을 통해 논리를 강화한다. 추론하고 수량화하고 생각하는 방식에 대한 정보를 제공하게 된다. 요즘 각광받는 알고리즘과도 연관성이 높다.

커먼코어 수학은 문해력과 시각적 단서를 통해 학생들이 문제를 읽고 이해하도록 한다. 다시말해서 수학을 가르치는 새로운 방법은 양자택일 상황이 아니라 수학 개념을 이해하고 수학 절차를 적용하는 학생들의 능력을 개발하는 것이다. 수학의 ‘이유’와 배우는 절차에 대한 기본 개념을 이해할 수 있도록 개념적 이해를 구축하는 데 중점을 둔다.

커먼코어에서 문제해법으로 초등학생들에게 가르치는 수학 언어를 알아보자.

- 랜드마크 숫자(landmark number)=10, 25, 50, 100과 같은 딱떨어지는 숫자를 문제해결을 위해 이용한다. 예를 들어, 123과 50을 더하기 위해 학생들은 123을 ‘랜드마크 번호’ 125로 바꾼 다음 50을 더하여 175를 얻는다. 그런 다음 2를 빼서 173을 만든다.

- 친숙한 숫자(friendly number)=랜드마크 숫자와 유사하지만 10, 20, 50, 100과 같이 0으로 끝나는 숫자다. 개념은 거의 동일한 방식으로 작동한다. 예를 들어 18과 25를 더하려면 18을 ‘친숙한 숫자’ 20으로 변경한다. 20과 25를 더하면 45가 되고 2를 빼면 43이 된다.

- 10으로 만들기=일반적으로 저학년 초등생에 쓰이는 전략이다. 학생들이 숫자 사이의 관계를 이해하고 10진법 숫자 체계를 강화하는 데 도움이 될 수 있다. 학생들이 숫자의 재그룹화를 시각화하는 데 도움이 되도록 그리드에 블록 또는 10프레임으로 만든다. 목표는 학생이 문제해결을 위해 숫자가 10인 그룹을 만드는 것이다. 예를 들어, 8과 5를 더하기 위해 학생은 5에서 2를 빼서 8을 10으로 바꾼다. 그러면 10 더하기 3(예: 8 더하기 5)이 13임을 쉽게 알 수 있습니다.

- 숫자 분해=숫자를 분해하는 것은 문제를 해결하기 위해 여러 부분으로 나누는 것이다. 일반적으로 초등학교에서는 자릿수 기준으로 분해는 ‘확장된 형태’라고도 할 수 있다. 예를 들어 1245 분해된 수는 1000 + 200 + 40 + 5이다.

부모들도 자녀들의 수학실력 향상을 위해서 도울 수가 있다. 자료는 다음 5가지 리소스를 참고하면 좋다.

▶티처스텝(TeacherStep)의 가이드: 커먼코어의 8가지 수학 연습 표준을 분류한다. ▶칸아카데미(Khan Academy): 프리킨더부터 12학년의 수학 수업과 대학 수준의 과정을 무료로 제공한다. ▶큐매스(Cuemath): 실시간 온라인 수학 수업을 제공한다. ▶패런츠닷컴(parents.com): 뉴수학을 위한 비디오와 시각 자료를 제공한다. ▶언더스투드(Undertood): 9개의 뉴수학 문제와 그 해법을 제공한다.

미국 중고교 수학과정

표

(1) 프리알제브라(Pre-Algebra): 알제브라1에서 알제브라2까지 다루는 수학의 개념을 쉽게 미리 소개하는 과정이다. 교사, 학생에 따라, 공부하는 내용과 수준이 매우 달라진다.

(2) 알제브라1: 그래프나 도형보다는 수식으로 많이 다루게 되는 과정으로 곱셉 공식, 인수분해, 1차 함수, 2차 함수, 근의 공식 등 다양한 개념을 배운다.

(3)지오메트리(Geometry): 점, 선, 면과 관련된 도형, 그래프, 증명, 면적, 부피 등을 다룬다.

(4) 알제브라2 & 트라이고노메트리(Trigonometry): 근의 공식이나 2차 함수를 뛰어넘는 좀 더 고급 개념을 다룬다. 타원, 쌍곡선, 로그, 지수, 삼각함수, 호도법, 순열, 조합, 행렬, 수열 등 매우 다양한 개념을 배운다. 프리알제브라가 중요한 역할을 한 것처럼 알제브라2의 비중이 매우 크다. 알제브라와 지오메트리에서 공부했던 내용을 종합, 한 단계 더 발전시키는 과정이다. 나중에 배우는 AP Calculus(미적분)의 기초를 쌓는다.

(5) 프리캘큘러스(Pre-Calculus, Math Analysis): 알제브라2와 트라이고노메트리의 심화 과정이다. 바로 다음 과정으로 연결되는 AP Calculus(미적분)의 준비과정이다.

장병희 기자