[투자의 경제학] 투자의 정석

1월 중 강세를 보인 증시는 여러 증권 전문가들의 말문을 막히게 하였다. 지난해 하락 여파로 세금 손해처리로 매각한 종목이 1월 중에 상승하게 되는 1월 효과로만 여기기엔 상승폭이 강했기 때문이다. 도이치뱅크에서는 최근 올해 미국 경제 침체 가능성이 90%라고 밝혔으며 S&P500 지수는 3250까지 하락할 수 있다고 전망했다. 이렇게 지수가 어디까지 하락한다거나 상승한다는 예측은 기업들의 예상 실적을 기반으로 계산해 낸다. 주가는 투자자들이 생각하는 기업의 가치를 반영한다. 예를 들어 애플사의 주가가 150달러라면 그 가격이 현재 투자자들이 생각하는 애플사의 가치인 것이다. 최근 보여준 증시의 강세에 전문가들이 의문을 가지고 있는 부분은 투자자들이 생각하는 기업들의 가치가 2022년 4분기 실적 보고서에서 많은 기업이 예상보다 못한 실적을 내놓았고, 거기에 더불어 실적 전망도 실망스러운데도 불구하고 증시가 호조를 보이기 때문이다. 사토리펀드(Satori Fund)의 댄 나일스 펀드매니저는 CNBC와의 인터뷰에서 지난 1년간의 금리 인상 효과는 올해 중반쯤이면 본격적으로 기업실적에 악영향을 미칠 것이라고 밝혔다. 또한 2.5조 달러에 달했던 소비자들의 여유 자금(excess savings)은 이미 1.5조 달러로 감소했고, 이 역시 올해 중반쯤이면 소진돼 증시를 밑받침해주고 있던 여러 요인이 없어지기 시작할 것으로 예상했다. 하락을 예상하는 전문가들의 하락 저점은 대부분 S&P500 지수가 3100에서 3300 정도일 것으로 전망한다. 저점 수치가 조금씩 다른 이유는 S&P500 지수에 포함된 500개 기업의 예상 실적이 차이가 있기 때문인데 여기에다 적정 가치를 지난 5년 평균 펄(PE Ratio)을 18을 주느냐 16을 주느냐에 따라서도 차이가 난다. 기업 실적 상황과 경제 전망을 감안 할 때, 지금 20 정도인 S&P의 펄은 고평가돼 있다는 것이 하락을 전망하는 전문가들의 의견인 것이다. 단기의 증시 움직임은 이런 논리적인 분석의 영향보다는 기회를 놓치지 않을까 싶은 욕심과 두려움 같은 감정적인 부분과 기계적인 프로그램 트레이딩, 특히 요즘에 거래량이 부쩍 늘어난 옵션, 선물 같은 파생상품의 영향이 높다. 장기적인 주가의 움직임은 기업 실적이 가장 큰 영향을 준다. 장기적인 안목을 가지고 실적 전망에 맞추어 투자를 결정하는 것이 투자의 정석이라고 생각한다. ▶문의: (213)434-7787 김세주 Kadence Advisors, LLC투자의 경제학 투자 정석 현재 투자자들 예상 실적 실적 보고서

2023-02-15

[미국 수학의 정석] 미 대입시험 불법 문제 유출, 시험 주관처 책임·개선 필요

지난 6월 11일 토요일 한국과 홍콩에서 실시될 예정이었던 미국 대입시험 ACT(American College Testing)가 전면 취소되었다. 이날 한국 언론 보도에 따르면 수험생들은 시험장에 도착해서야 시험이 취소된 사실을 알고 발길을 돌리는 등 혼란을 빚었다. 강남의 유학준비 학원과 학부모들에 따르면 이날 서울과 부산 등지에서 진행될 예정이었던 ACT 시험이 시험 시작 직전 돌연 취소됐다. ACT 시험 주관사인 ACT는 이날 한국과 홍콩에서 진행되는 시험에 등록한 학생들에게 새벽에 이메일을 발송해 "한국과 홍콩의 모든 시험장에서의 시험 일정을 취소한다"고 통보했다. ACT는 "이 지역들의 시험이 사전에 유출(compromised)된 것으로 보인다는 신뢰할만한 증거들을 입수했기 때문"이라고 취소 이유를 설명했다. 많은 언론들이 이 사실을 보도하면서 SAT 시험지 유출에 대한 이야기도 같이 언급했다. 지난 5월 15일 MBC에서 방송된 시사매거진 2580에서는 SAT 1과 SAT 2, 그리고 ACT까지 시험지 유출에 대한 전반적인 내용들을 다뤘다. 하지만 언론 보도들은 이구동성으로 "시험지 유출은 부도덕한 것"이라는 게 주요 논점이었다. ACT 본사와 SAT를 주관하는 칼리지보드의 무능하고, 안일한 관리에 대해서 지적하는 보도는 거의 없었다. 학원가에서 돌아다니는 소식을 들어보면 SAT가 최근 개정되고 잦은 문제유출 의혹에 시달리면서 ACT로 넘어가는 수험생들이 많은 것으로 알려졌다. 과연 단순히 SAT 시험 개정과 잦은 문제 유출 의혹 때문일까? 그리고 ACT는 믿을 만하기 때문에 시험을 바꿀까? 서울 대부분의 유학/어학원 관계자들이 들으면 실소를 터뜨리는 이야기다. ACT시험지 유출사태는 몇년 전부터 '준비된 시한폭탄'이라는 말까지 돌고 있을 정도로 예고된 일이다. 한국 학원가에는 이미 수년 전부터 SAT 1이나 2의 구분 없이 거의 모든 자료들이 유출되어서 돌아다니고 있었다. 인터넷과 스마트폰을 언제 어디서나 제한없이 사용하는 시대인데도 불구하고 ACT나 SAT를 주관하는 기관들의 시험관리는 전혀 시대를 따라가는 것처럼 보이지 않는 것 같다. 칼리지보드는 한국에서 SAT 시험을 보는 학생들에게 국제수수료(International Process fee)라는 명목을 붙여 42달러를 추가 징수한다. ACT도 역시 인터내셔널 학생 추가 비용이라고 40달러를 더 받는다. 하지만 칼리지보드는 대한민국 검찰이 문제지 불법유출 수사를 위해 협조를 요구했지만 지난 2년이 넘도록 협조하지 않았다는 것이다. 로이터통신이 보도한 기사를 보면 칼리지보드는 문제가 계속 유출되고 있음에도 불구하고 문제를 계속 재사용할 방침이라고 공개했다. SAT나 ACT 시험 주관처들은 학생들이 고등학교를 졸업하고 대학만 가면 문제가 흐지부지 조용해진다는 안일한 생각만 하는 것 같다. 시험 관리의 부실에 대한 책임은 추가 비용을 받은 기관에서 져야 한다. 하지만 이런 부분들에 대한 지적은 전혀 들리지 않는다. 물론, 불법 유출에 관여한 사람들은 지탄을 받아야 마땅하지만, 이런 사건이 발생하기 이미 몇 년 전부터 문제점을 수정하지 않고 방치한 시험 주관사들도 지탄받아야 한다.

2016-06-19

[미국 수학의 정석] 경우마다 제시되는 답 제각각이듯…자녀 실력 따라 공부법도 달라져야

수학을 힘들어하는 자녀가 많습니다. 하지만, 부모들은 '그걸 못하느냐'며 이해하지 못하는 경우가 대부분입니다. 그래서 부모들을 위해 문제를 준비해봤습니다. 수학과목이 얼마나 많이 바뀌었는지 일일이 설명하는 것보다는 문제 한 개를 풀어보는 게 더 빠르기 때문입니다. 그리고 문제를 읽다 보면 우리 자녀의 수학 진도가 결코 만만치 않다는 걸 실감할 수 있습니다. 아래 문제는 대수과정(Algebra) 또는 미적분 기초과정(Precalculus)에서 배우는 '확률의 경우의 수' 부분입니다. 아래 문제를 풀다보면 경우에 따라 답이 달라집니다. 학생의 실력에 따라 공부법도 달라져야 한다는 것을 증명하는 것 같습니다. 1) 4명의 학생이 줄을 선다면 서로 다른 순서의 경우들이 몇 개가 생길까요? 맨 첫 번째 자리에 올 수 있는 학생들은 4명이 됩니다. 그리고 맨 첫 번째 자리에 한 명이 서고 나면, 두 번째 자리에 올 수 있는 학생들은 3명이 됩니다. 그러면, 4명 중에서 2명이 줄을 섰으니까, 세 번째 자리에 올 수 있는 학생은 2명이 됩니다. 마지막 자리에는 1명이 남겠지요. 다른 방법으로 정답이 4! 라고 할 수 있는데, 이것을 영어로 “four factorial” 이라고 읽습니다. Factorial은 ‘차례 곱’ 이라는 의미입니다. 4!의 값은 24입니다. 4부터 1까지 차례대로 모두 곱한다는 이야기입니다. 2) 1, 2, 3, 4의 순서만 바꿔서 서로 다른 네 자리 숫자가 몇 개가 생길까요? 표현만 다를 뿐이지, 위의 1번과 같은 문제입니다. 3) 1, 1, 2, 3의 순서만 바꿔서 서로 다른 네 자리 숫자가 몇 개가 생길까요? 이것은 좀 다른 문제입니다. 1123 같은 4자리 숫자가 순서가 서로 다른 경우들이 얼마나 되는지를 묻는 문제입니다. 1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121, 3211, 해서 모두 12가지의 경우들이 생길 수 있습니다. 4) 1, 1, 2, 2의 순서만 바꿔서 서로 다른 네 자리 숫자가 몇 개가 생길까요? 이 문제는 앞의 문제와의 차이가 겹치는 숫자들이 2개가 있다는 점입니다. 1122와 같은 4자리 숫자가 순서가 서로 다른 경우들이 얼마나 되는지를 묻는 문제입니다. 1122, 1212, 1221, 2112, 2121, 2211, 그러면 모두 6가지의 경우가 생깁니다. 1234라는 숫자와 1123이라는 숫자는 분명히 다른 경우입니다. 1234는 각각의 자리의 수들이 모두 다른 경우고, 1123은 자리의 수들 중에 같은 것이 있는 경우입니다. 1123의 경우는 ‘4! 나누기 2!’라고 생각을 해보면, 24 나누기 2가 되어서 12가 됩니다. 그럼, 1122의 경우는 어떻게 될까요? ‘4! 나누기 (2! 곱하기 2!)’이라고 생각할 수 있겠죠? 그럼 6이 됩니다. 반복되는 것이 있는 경우는 그 숫자만큼의 factorial 값으로 나누어주면 됩니다. 동전을 4번 반복해서 던진다고 하면, 서로 다른 경우가 몇 가지가 생길까요? 앞면(Head)이 4번 나오는 경우도 있고, 3번 나오는 경우도 있고, 2번, 1번 또는 전혀 안 나오는 경우들이 가능할 것입니다. 만약에 4번 모두 앞면이라고 한다면, HHHH라고 쓸 수 있는데, 이 경우는 1가지 경우밖에 없습니다. ‘4! 나누기 4!’라고 생각하면 됩니다. 앞면이 3번 나오는 경우는 뒷면(Tail)이 한 번 나온다는 이야기입니다. 그러면, HHHT의 경우인데, 이것은 ‘4! 나누기 3!’ 그래서, 4가지 경우가 됩니다. 앞면과 뒷면이 각각 2번씩 나온다고 하면, HHTT그래서, ‘4! 나누기 (2! 곱하기 2!)’, 그래서 6가지가 되겠죠? 앞면이 1번 나오는 경우도 생각해보면, HTTT, 그래서, ‘4! 나누기 3!’ 그래서, 4가지 경우가 됩니다. 마지막으로 앞면이 한 번도 안 나오는 경우는 TTTT 그러면, ‘4! 나누기 4!’ 고로 1가지 경우라고 생각하면 됩니다. 가능한 경우의 수들을 모두 더해보면, 1가지, 4가지, 6가지, 4가지, 1가지 들을 더하는 것과 같고, 그러면, 모두 16가지의 경우들이 가능하게 됩니다. 동전은 앞면과 뒷면 2가지 서로 다른 경우를 만들 수 있는데, 동전을 4번 던지면, 이것은 '2x(곱하기) 2x 2x2'가 되어서 모두 16가지 경우라는 똑같은 값이 나옵니다. 존 김 원장/쿨김아카데미

2016-01-17

[미국 수학의 정석] 정확한 문제 해석이 정답 산출의 비결…다양한 유형 많이 풀어볼수록 도움돼

연말이라 들떠 있는 학생들이 많지만 수학 문제는 오늘도, 내일도 계속 풀어야 한다. 비슷하지만 서로 다른 문제들을 가지고 생각해보려고 한다. 1. A box contains 9 balls. 4 of them are black and the rest are white. If 2 balls are randomly picked one by one without replacement, what is the probability that both are black? "상자 안에 9개의 공이 들어있는데, 4개는 검은 색이고, 나머지 5개는 흰색이다. 만약 2개의 공을 하나씩 뽑았는데, 다시 넣지 않고 뽑을 경우, 뽑힌 2개의 공이 모두 검은색일 확률은 얼마일까?"라는 문제다. 정답 산출 공식은 "(4/9) x (3/8)"이며 답은 "1/6"이다. 2. A box contains 9 balls. 4 of them are black and the rest are white. If 2 balls are randomly picked one by one with replacement, what is the probability that both are black? "상자 안에 9개의 공이 들어 있는데, 4개는 검은 색이고, 나머지 5개는 흰색이다. 만약 2개의 공을 하나씩 뽑았는데, 뽑고 확인한 뒤 다시 넣어 또 뽑았을 경우 뽑힌 2개의 공이 모두 검은색일 확률은 얼마인가?" 정답은 "(4/9) x (4/9)=(16/81)"이다. 1번과 2번의 문제의 차이는 상자에서 공을 뽑아 확인한 후 다시 상자에 넣은 후 뽑느냐, 아니면 뽑힌 것은 상자에 다시 넣지 않느냐를 파악해서 그 차이를 이해하는 것이 포인트다. 3. A box contains 9 balls. 4 of them are black and the rest are white. If 3 balls are randomly picked one by one without replacement, what is the probability that 2 balls are black and 1 ball is white? "상자 안에 9개의 공이 있는데 4개는 검은 색이고, 나머지 5개는 흰색이다. 만약 3개의 공을 하나씩 뽑았는데, 다시 넣지 않고 뽑은 경우 뽑힌 2개의 공은 검은색이고 나머지 하나는 하얀색일 확률은 얼마인가?" 정답은 "(4/9) x (3/8) x (5/7) x (3)"= (5/14)이다. 4. A box contains 9 balls. 4 of them are black and the rest are white. If 3 balls are randomly picked one by one with replacement, what is the probability that 2 balls are black and 1 ball is white? "상자 안에 9개의 공이 있는데, 4개는 검은 색이고, 나머지 5개는 흰색이다. 만약 3개의 공을 하나씩 뽑았는데 확인하고 다시 넣고, 또 뽑는 것을 반복하는 경우, 뽑힌 2개의 공은 검은색이고, 나머지 하나는 흰색일 확률은 얼마인가?" 정답은 "(4/9) x(4/9) x (5/9) x(3) = (80/243)이다. 위의 3번과 4번의 문제에서 생각해야 하는 첫 번째 포인트는 위의 1번과 2번의 경우와 비슷하다. 3번에서는 곱해지는 분모(Denominator)가 9, 8, 7이었고, 4번에서의 분모들은 9, 9, 9 로 같다는 것이다. 두 번째로 생각해야 하는 포인트는 "곱하기 3"의 이유다. 그건 "Black-Black-White, Black -White-Black, White-Black-Black" 이렇게 세 가지의 경우가 가능하기 때문이다. 지금까지 살펴본 문제들은 매우 간단해 보이지만, 많은 학생이 두려워하는 문제들이기도 하다. 앞의 문제 중에서 어떤 문제는 조합(Combination)의 개념을 가지고 풀 수도 있고, 어떤 문제는 이항정리(Binomial Theorem)를 이용해서 풀 수도 있다. SAT와 같은 대학입학 시험에서도 많이 출제되는 문제들이라 알아두면 유리하다. 존 김 수학 강사·마스터프렙/압구정동 Prep101 Academy

2015-12-27

[미국 수학의 정석] 예습은 과정을 터득하는 공부법, 상위 과목은 기초 없으면 힘들어

"12시에 만나요"라고 하면, 웬만한 40대 이상에서는 즉각적으로 따라 이야기하는(?), 아니 이어 부르는 소절이 있다. "브라보콘~"이다! 요즘 중고등학생들에게 여러 번 시도해 보지만 결코 상상도 못하는 소절이다. 학생들이 내 이야기를 듣고 인터넷으로 검색해서 흑백 TV시절의 동영상을 발견하고는 "정말 이런 광고가 있었네?"라고 생각하더라도 그 광고에 나오는 여배우 정윤희씨가 누구인지도 모를 것이고, 이 광고를 수도 없이 접하면서 시절을 지나온 세대들이 느끼는 감동과는 많이 다를 것이다. 좀 생뚱맞을지도 모르지만, 미국 수학에도 그런 부분들이 있다. 단지 수학만 그렇지 않을 것이고 영어나 다른 과목들도 그럴 것이다. 예를 들어 7학년 수학에서 다루는 내용 중에서 꼭 7학년 수학 수업을 들어봤어야 이해가 되는 그런 부분들이 있다. 이것을 단순히 개념이나 원리라고만 이야기하기에는 어려움이 있다. 슬로프(Slope)란 단어를 수학 용어집에서 '기울기'라고 발견하고 충분히 이해했다고 하긴 어렵다. 대부분의 6학년이나 7학년 학생들에게 '슬로프'를 물어보면 "Rise over run(기울기 그래프)"이라고 답을 한다. 하지만 한국식으로 "y값의 변화량 분에 x값의 변화량"으로 설명한다고 해서, "rise over run"으로 배우면서 학생들이 터득하는 분위기나 창의성 등 전반적인 것을 대신하기에는 분명한 한계가 있어 보인다. 이맘 때쯤 내가 가장 많이 받는 질문은 기초대수학(Pre-Algebra)이나 기하학(Geometry) 과정을 건너뛰어도 되는지에 대해서다. 한국의 강남지역에서는 6학년 학생들이 중학교 수학 과정을 선행하거나 심지어 고등학교 수학과정을 선행하는 것이 아주 놀랍거나 새로운 사실이 전혀 아니다. 그리고 많은 유학 준비생들의 경우 진학할 학교에서 보내오는 배치고사(Placement test)를 보고 교과를 배정받기도 하지만, 매우 많은 경우 이러한 과정을 건너뛰고 더 어려운 과정으로 배정받길 요청한다. 극단적인 예를 들어 9학년에 AP미적분(Calculus)반에 들어가면 나중에 대입에서 더 유리할 것이라는 잘못된 인식 때문이다. 한국 수학으로 선행은 되어 있고 영어 학원을 열심히 다녀서 토플 시험 점수도 나쁘지 않으면 많은 부분 해결이 된다고 오해한다. 물론 한국 수학으로 선행이 되어 있는 학생들이 수학적인 개념을 더 쉽게 이해하는 것은 사실이지만 그것이 미국 수학과정을 건너뛰려는 충분한 이유는 안된다. 개념을 예습하는 이유는 수업시간에 쉽고 분명하게 이해하도록 돕는 것이어야 하는데 해당 과정을 건너뛰고 상위 과정을 배정을 받는다면 학생은 그 상위개념을 위해서 다시 사교육의 도움을 찾아 나서야 한다. 이런 악순환이 반복이 되면 결국은 스스로 찾아서 공부하기보다 사교육의 도움에 의존하는 장애를 갖게 된다. 이미 예습을 해서 개념은 알더라도 해당 학년에, 해당 과목에서만 배울 수 있는 내용을 터득해야 하는데 개념 예습을 학원에서나 개인지도를 했다고 그 과정을 안 배우고 그냥 건너뛰어 버리면 예습을 한 의미가 없다. 한 예로 기하학을 건너뛰었다가 SAT1 수학에서 고전하는 학생들을 많이 봤기 때문에 2016년 개정 이후에는 이런 학생들이 더 많아지리라 예측된다. 개념을 예습하고 수업시간에 관련 개념을 배우면, 해당 개념을 확실하게 통달하는데 도움이 된다. 그래도 수업시간에는 마치 전혀 모르는 것 같은 얼굴을 하고 수업을 들으라고 나는 종종 학생들에게 이야기한다. 이미 아는 개념을 배우더라도 예습했다는 것을 티 내지 않고 학교 선생님의 수업을 통해서 마치 새로운 개념을 잘 배운 것과 같은 인상을 주어야, 좋은 성적(GPA)을 받기에 절대적으로 유리하다. 일반적으로 미국 수학 선생님들은 한인 학생들처럼 과도하게 예습하고 와서 수업을 들으면서 이미 안다는 식으로 수업시간에 과시하는 것을 그다지 환영하지 않는다.

2015-11-27

[미국 수학의 정석] SAT시험은 개정 전·후 2개 응시하고, 양쪽 점수 제출해야 대입지원시 안전

1994년 SAT 시험에 큰 변화가 있었다. 계산기를 사용하는 것이 허용되었고, 반의어를 찾는 문제들이 사라졌다. 시험 총점은 여전히 1600점 만점이었다. 이즈음에 칼리지보드가 시험 본 응시자 그룹의 평균이 거의 450점 근방에서 잡히도록 하는, 그리고, 영어와 수학 실력에 대한 해석에 일관성을 보이도록 하는 "RE-centered score"라는 새로운 채점 방식을 도입했다. 이 당시에 미국에서 널리 쓰던 계산기가 TI-81이었는데, 요즘 학생들이 본다면, 구석기시대 유물처럼 느낄지 몰라도, 당시에 이 계산기조차도 한국의 대학생들이 사용하던 공학용 계산기보다도 성능이 훨씬 우수했었다. 1995년에 칼리지보드는 웹사이트를 처음으로 운영하기 시작했다. 인터넷이 나오기 전의 SAT 시험 개정은 학생들의 불안감이나 예측 등이 널리 퍼져나가기에는 한계가 있었다. 시험 개정 방향이 학생들을 불안하게 만들기 보다는 오히려 쉬워진다고 인식됐다. 간단히 비유하자면 예비고사, 학력고사에서 수능시험으로 전환되는 것 같은 느낌이었다. 그래서 2005년 개정은 미국 대학 총장들의 SAT 시험의 실효성에 대한 불만을 해소하는 차원에서 시작되었다고 볼 수 있겠다. 2005년 개정 시험의 가장 큰 핵심은 비유(Analogy) 섹션이라는 단어들 사이의 관계를 묻는 부분들이 빠지고, 수학에서는 주관식이 추가됐다. 결정적으로 SAT 2 서브젝트 시험과목이었던 작문(Writing)이 SAT 1 시험으로 흡수되어서 총점이 2400점 만점으로 변화된 것이다. 에세이 섹션의 추가로 상대적으로 수학이 강하고 영어가 약한 아시안 학생들에게 불이익을 줄 것이라는 불안과 걱정들이 그 당시에 매우 강하게 표출되었다. 물론 수학에 대수학2(Algebra 2)이 추가되기는 했지만, 개정 이전의 문제들과 비교해보면 그 영향은 거의 미비했다. 수학에서 주관식이 추가되었다는 이유로 객관식 문제들의 난이도는 아주 쉬워졌고 비교 문제 유형들이 없어진 것도 큰 변화였다. 내년에 바뀔 개정 SAT는 인터넷 발달로 생겨난 시험문제 불법유출 사태가 가장 큰 원인 중의 하나라고 할 수 있다. 그리고 시험 개정에 대한 학생들의 불안감은 1994년이나 2005년 개정 때보다 훨씬 더 심각해 보인다. 인터넷의 발달이 이런 불안을 더 크게 부각시키는 것 같다. "2016년 시험이 개정되기 전에 기존의 SAT시험으로 고득점 받자"는 메시지로 수많은 학원이 9, 10 학년생들에게 SAT 시험준비를 권유해 많은 학생이 학원으로 몰려갔다. 쉽게 이야기하자면, 초등학교 6학년 수준의 학생들에게 대학입학 시험 마지막 총정리 반에 들어가서 준비를 시키는 것과 별반 다를 게 없는 코미디를 한 것이다. 그리고 나니 이제 많은 학생이 미국 대학들이 2016년 대학 입시에서 개정 이전의 SAT 점수를 인정할 지 여부를 놓고 촉각을 곤두세우고 있다. 하지만 조금만 생각하면 간단하게 답이 나온다. 예를 들어 내년 10월에 대학 입시 원서를 제출하는 학생들 중에 A라는 학생은 개정 이전과 이후 모두 SAT시험을 보았고 둘 다 점수가 2300점이라고 하자. 그런데 B라는 학생은 개정 이전SAT 점수 2300점만 가지고 있다고 하면 과연 미국 대학들은 A와 B중에서 누구를 뽑을까? 여기서 B라는 학생이 주로 아시안 학생들이라면, 미국 대학들이 과연 어떻게 생각을 할까? 지난 2014년 3월 5일 기자회견에서 칼리지보드의 데이비드 콜먼 회장은 "대입 지원시 대학이 요구하지 않아도 두 개의 시험점수를 보낼 것을 권한다" 고 강조한 말이 무슨 의미인지를 곰곰이 생각해보면 쉽게 예측이 된다. 벌써부터 2016년 3월이 지나면 SAT서브젝트 중에서 수학2C(Math 2C)의 문제 난이도가 지금보다 어려워질 것이라고 예상한다. 개정SAT의 수학 섹션에 기존의 Math 2C에 나오던 삼각함수나 다른 어려운 개념들이 추가되는 것을 고려하면 당연히 Math 2C 시험은 더 어려워질 수밖에 없다.

2015-11-01

[미국 수학의 정석] 수업 목표 뚜렷해야 지식도 남아…일대일 과외에만 의존하면 실패

흔히 과외라고 이야기하는 일대일 개인지도 방식으로 공부하는 학생들의 모습들을 쉽게 볼 수 있다. 학교나 학원에서만 보는 게 아니라, 모임 공간이나 심지어 커피숍에서도 과외 공부를 하고 있는 모습들을 쉽게 접하게 된다. 개인지도가 모든 문제들의 해결책은 아닌데, 개인지도에 의존해서 공부하려는 학생들 내지는 학부모님들이 많다. 과외는 자기 주도형 학습 능력이 어느 정도 갖추어지고, 교재를 보면 저자가 이야기하려는 포인트를 읽어내는 능력이 어느 정도 있어서 스스로 학습이 되는데, 특정 개념에서 막히는 부분들이 있어서 도움이 필요한 경우 그룹 수업보다 개인지도가 효과적이다. 또 특정 그룹에서 특정 레벨의 수업을 따라가야 하는데 전반적인 평균 수준보다 떨어지는 부분들이 있어 그 부분에 대한 집중적인 훈련이 필요하고 다른 학생들에게 피해를 주지 않으면서 일정 수준을 따라잡으려는 목표가 분명할 때 개인지도가 효과적일 수 있다. 개인지도로 효과를 보는 경우들을 생각해보면 위의 예처럼 개인지도를 통해 얻고자 하는 목표가 분명할 때이다. 개인지도에서 효과를 보기 위해서는 강사의 성향도 고려해야 한다. 그룹 수업에서 강의를 더 잘하는 사람이 있고, 일 대 일로 수업을 할 때 강의를 더 잘하는 사람이 있다. 일방적으로 혼자서 떠드는 스타일의 강사도 있고, 학생이 강사에게 질문하기보다, 강사가 학생에게 질문을 더 많이 하는 스타일의 강사도 있다. 학생이 공부하고자 하는 의지가 약한데, 수업에 대한 목표도 뚜렷하지 않다면, 일 대 일로 수업을 한다고 해서 강사가 학생에게 동기를 부여할 수 있는 수준에는 한계가 있다. 오히려, 개인지도를 선택하지 말았어야 하는 경우다. 반대로 학생이 공부하고자 하는 생각은 있지만 의지가 약한 경우 다른 학생들의 활기찬 모습들이 강사나 학부모들의 잔소리보다 더 큰 격려가 되는 경우들도 종종 발견할 수 있다. 잘못된 개인지도 방식에 익숙해진 학생들이 보여주는 부작용들도 자주 보게 된다. 이런 학생들은 스스로 교재를 읽고, 저자가 이야기하려는 포인트가 무엇인지를 파악할 수 있는 능력은 거의 없고, 누군가가 그렇게 포인트를 정리해서 본인에게 알려주기를 기다리는 성향을 보인다. 그저 "내일 시험에 나올만한 문제들을 좀 찍어주세요…" 라고 요구하고 어떻게 그런 문제들을 푸는지, 방법들만 순간적으로 머릿속에 담으려고만 한다. 스스로 복습을 못할 수 밖에 없는 게 어떻게 복습을 해야 할지를 모르는 경우들이 대다수다. 고민은 학생 스스로 해야 하는데, 고민까지 선생님들이 해주다 보니 정작 학생 스스로 무엇을 알고, 무엇을 모르는지도 파악하지 못하게 된다. 아는 것도 아니고 모르는 것도 아닌 상태에서 과정을 마무리하다 보니 기말(Final) 시험이 끝나는 것과 동시에 머릿속에 남는 지식도 같이 사라진다. 가장 최상의 수업 방식이 그룹지도인지, 일대일 개인지도인지로 단순하게 판단할 문제는 절대로 아니다. 강사와 학생이 자유롭게 토론할 수 있고, 학생들끼리도 서로 좋은 자극을 주고 받으면서 진행되는, 그래서 학생 스스로 아는 것과 모르는 것을 깨달을 수 있도록 하는, 자기 주도형 학습을 발전시켜주는 수업이 가장 좋은 수업 방식이 아닐까.

2015-10-04

[미국 수학의 정석] 학생기자 통해 인성 보여주고 꾸준한 작문 작성은 실력 키워

미국 명문대학들은 신입생을 선발하면서 제일 중요하게 생각하는 요인이 학교 성적(GPA)이나 대학입학 시험 결과나 과외 활동이 아니라 인성(Personality)을 많이 이야기한다. 물론 학교 성적이나, 대입 시험 점수들이 학생의 성실함을 어느 정도 나타내주는 유용한 요인들이 될 수도 있을 것이다. 그런데도 인성을 통해 학생들을 평가한다. 인성을 평가하는 부분은 많은 경우 대입 지원서에 함께 제출해야 하는 '자기 소개서'를 통해 파악하고 있다. 이 자기 소개서의 내용은 대부분 지원자에 대해서 묻는다. 한국에 거주하면서, 내지는 한국에서 미국 고등학교로 유학을 간 학생들은 (또는 학부모님들이) "어떻게 나를 표현할 것인가?"라는 부분에 대해서 정확하게 이해하지 못하는 경우가 많다. 경험은 더더욱 부족해 보인다. 결국은 자기 소개서에 적기 위해 "위 학생은 어떤 활동을 성실히 잘하였음!"이라고 쓰여있는 "인증서" 그 자체에 엄청난 비중을 두기도 하고, 일반 고등학생 수준으로 이해하기에는 매우 어려운 엄청난 과학 연구에 참여해서 학술 논문을 쓰기도 하고, 또는 책을 출판하는 경우들도 종종 발견하기도 한다. 예술분야 전공자일 경우 초대받은 행사가 아닌, 자가 부담의 사진전이나 미술전을 개최하는 경우들도 아주 쉽게 볼 수 있다. 또는 단기간에 동남아나 몽골에 가서, 집을 짓는다던 지, 아니면 동물들을 목욕시키고 오는 경우들도 매우 쉽게 만날 수 있다. 하지만 이런 연구 논문이 과연 얼마나 인지도 있는 학술지에 실리느냐의 문제와, 책을 출판한 출판사가 명성이 있는 곳인지, 아니면, 작가에게 돈을 받고 인쇄와 마케팅을 해주는 (작가가 돈을 지급하면 인쇄와 마케팅을 대행해주는) 보조출판사(subsidy publisher) 인지를 고민해야 한다. (이것은 생각보다 매우 고전적인 전략이다.) 전시회나 다른 봉사활동 내용도 마찬가지다. 미국 대학 입학 사정관들은 이런 부분들에 대해서는 직접적인 경험들이 너무나 풍부하다. 학생이 과연 본인의 의지와 신념을 바탕으로 활동을 했는지, 아니면 주변에서 코치를 받아서, 단순히 대학에 잘 보이기 위해서 만들어낸 활동인지를 파악하는 데 최고의 전문가들이라고 봐야 한다. 평상시에 글을 꾸준히 써오지 않은 학생이 대학 지원을 앞두고, 갑자기 자신에 대한 글을 쓴다는 것이 여간 어려운 일이 아니다. 평소에 꾸준히 특별 활동을 해왔더라도 그것을 통해서 느낀 점을 꾸준히 적어온 학생이 아니라면, 역시 짧은 시간에 대학 입학 사정관들에게 감동을 줄 수 있는 글을 쓴다는 것 역시 참 어려운 일이다. 그런 면에서 미주 중앙일보 학생기자 프로그램은 아주 의미 있는 활동이다. 학생기자가 꾸준히 글을 쓰는 훈련을 하면서, 수많은 토론과 고민을 통해 비판적 사고능력을 향상시킬 수 있고, 거기에만 머무르는 것이 아니라, 글과 사진으로 학생의 생각과 논리를 아주 자세하게 보여줄 수 있는 아주 강력한 도구이기도 하다. 2009년에 1기를 배출해서, 현재까지 이어져 오는 동안, 학생기자들이 만들어온 수많은 명문대학 합격 사례들이 그에 대한 반증이기도 하다. 가을학기를 맞아 미주 중앙일보 학생기자 프로그램이 또 가동된다. 미국과 한국에서 새 기수생으로 합류한 학생들이 프로그램을 통해 자신만의 개성과 인성을 보여주기를 기대해본다. 존 김 원장 쿨김 아카데미

2015-09-13

[미국 수학의 정석] 스펙보다 자기주도 학습능력 갖춰야

2015학년도 한국 대학의 대입 원서와 자기소개서에 TOEIC, TOEFL, TEPS(영어), HSK(중국어), 한자능력검정, 한국수학올림피아드(KMO), 전국정보과학올림피아드, 국제물리올림피아드, 국제지구과학올림피아드, 국제수학올림피아드, 국제생물올림피아드, 국제 천문올림피아드, 한국 중등과학올림피아드, 전국 초·중·고 외국어(영어·중국어·일본어·프랑스어·독일어·러시아어·프랑스어) 경시대회, 국제영어논술대회 등에서 받은 실적, 소위 말하는 스펙을 기재할 경우 0점 처리된다. 각 언론사마다 보도 내용을 확인해보면 그 종류가 가지 수가 너무나 많다. 이렇게 된 원인은 누구의 잘못일까? 교육과 관련된 또 다른 보도들을 살펴보면 이런 내용들도 눈에 뜨인다. 한국에서는 수강신청과 성적처리에 관해서 각 대학 행정실에서 매우 많은 학부모의 문의가 빗발친다고 한다. 아예 대학교에서 학교PC를 붙들고 직접 수강신청을 하고 있는 학부모들을 발견하기가 그리 어렵지 않다고 한다. 심지어, 직장에 전화해서, 아파서 결근을 한다고 보고해주는 엄마(아빠), 직장 회식 끝나는 시간에 맞춰서 데리러 오는 엄마(아빠)이야기까지 나온다. 이런 사회 분위기에서, 학생들에게 창의력과 자기 주도형 학습 능력을 기대하는 것이 과연 타당한 것인가라는 질문들이 쏟아져 나온다. 여름방학이면 서울에서는 미국 명문 대학에 진학하기 위해 공부하는 조기 유학생들과 외국인학교 및 국제 학교 재학생들을 쉽게 볼 수 있다. 이 학생들이 대부분 갖고 있는 공통적인 고민은 ACT, SAT와 같은 시험 성적에 대한 고민이다. “SAT 2 Math 2c같은 과목은 10학년 이전에 끝내고 가야지요.” “AP 학과목 시험 점수들을 11학년 전에 미리 받아놓는 게 유리합니다.” “SAT Reasoning 시험이 개정되기 전에 고득점을 하고 끝내야지요.” 이런 계획들은 대부분 학생이 짜는 것이 아니라, 학부모님들이 기획하고, 학원은 그에 맞춰 수업을 듣게 한다. 참 안타까운 것은 학생들이 학교에서는 듣는 교과목들의 진도들보다, 훨씬 미리 끝내야 하는 것들이 많다는 것이다. 그리고 이런 상황에 익숙한 학생들을 보면 매우 많은 경우 SAT나 ACT 시험 준비를 무슨 복권 당첨처럼 인식하는 듯한 경우들을 쉽게 만나게 된다. 학원들이 나눠주는 시험지들을 열심히 풀어서, 운이 좋으면 똑같거나 비슷한 문제들을 시험지에서 만나 고득점을 하는 것이고, 그와는 반대로, 점수가 잘 나오지 않으면, 본인들이 운이 나빠서 고득점을 하지 못한 것으로 인식하는 경우들이 매우 많아졌다. 이것은 단순히 SAT Reasoning Test만의 경우가 아니라, SAT 2 과목별 시험으로 알려진 시험들도 역시 마찬가지다. 그것도 Math 2C라는 특정 과목에만 국한된 이야기가 아니라, 다양한 과목들에 대해서 나오는 이야기들이다. (SAT 부정에 대한 이야기는 이미 많이 보도가 되어서 생략한다.) 그런데, 이런 기획에 따라 움직이는 학생들은 자기주도학습 능력이 뛰어날까? 오히려 정반대다. 학생 스스로 무엇을 알고, 모르는지를 파악하는 능력도 대부분 부족하다. 그리고 이 문제에 대한 심각성은 해가 갈수록 더욱 악화한다고 많은 사람이 이야기하고 있다. 오바마 대통령이 한국의 교육에 대한 칭찬을 수시로 해왔지만, 요즘 미국 대학 입시와 관련된 여러 현황을 살펴보면 한국 대학들이 왜 대학 입시 관련 서류에 스펙들을 기재하면 0점 처리를 하는지 미국 교육 당국도 진지하게 고민해 봐야 할 것 같다는 생각이 든다. 존 김 수학 강사 마스터프렙/압구정동 Prep101 Academy

2015-08-10

[미국 수학의 정석] 이차 함수(Quadratic function)의 이해

일전에 이야기했던 Factoring(인수분해)에서 연결되는 개념이다. 이차함수(Quadratic function)를 공부하는 데에 가장 기본이 되는 것은 x절편(x-intercept), y절편(y-intercept), 그리고, 꼭짓점(vertex)을 찾는 것이라고 할 수 있다. 우선 x-intercept에 대한 고민을 해보자. 1) "Find the zeros (x-intercepts) of "f(x) = x² - 4x + 3"의 정답은 1 과 3이다. 2) "Find the zeros (x-intercepts) of "f(x) = x² - 5x + 6"의 정답은 -2 와 -3 이다. 3) "Find the zeros (x-intercepts) of "f(x) = x² - 8x + 15"의 정답은 3 과 5이다. 위의 1번 문제에서 Sum of zeros는 4이고, product of zeros는 3이다. 위의 2번 문제에서 Sum of zeros는 5이고, product of zeros는 6이다. 위의 3번 문제에서 Sum of zeros는 8이고, product of zeros는 15이다. 여기서 정리할 수 있는 개념이 0 = x² + Ax + B를 만족시키는 x 의 값들의 합(Sum of zeros)은 -A 라는 것이고, 곱(product of zeros)은 B 라는 것이다. 주어진 식이 0 = Ax² + Bx + C 라고 한다면, 모든 항(term)들을 a로 나누어서 생각을 해보면, 0 = x² + (B/A) x + (C/A) 라는 식으로 정리가 되는데, 여기서 Sum of zeros는 -B/2A 가 된다. 1번에서 Vertex를 찾는 방법은 여러 가지가 있다. x² - 4x + 3 = (x-2)² -1로 바꾸는 완전 제곱 꼴로의 변형(Completing a square)을 하는 것이 그 중 한 방법이고, 여기서 (x-2)² = 0 이 되도록 하는 x의 값을 찾는 것을 대칭축(Axis of Symmetry)을 찾는 것과 같다는 것을 이해하는 것도 중요한 포인트다. 여기서 Axis of Symmetry가 vertex의 coordinate(좌표)이 된다. 1번에서 Sum of zeros는 4라는 것을 알면, 여기서 바로 Average (Arithmetic mean) of zeros를 찾을 수 있는데, 이것이 vertex의 coordinate이 된다. 보통 학생들이 x=-b/2a 라고 외우는 식은 바로 Average (Arithmetic mean) of zeros를 찾는 방법과 같다. 1번에서 찾은 Average (Arithmetic mean) of zeros는 2인데, 이것을 x에 대입해서 y값을 찾으면, (2, -1) 이라는 vertex를 쉽게 찾을 수 있다. A ball is thrown from the ground. Its flight path is modeled by h(t) = -3t² + 12t where h(t) is the distance of the ball above the ground in meters and t is the time counted after the ball is thrown in seconds. What is the ball's maximum height from the ground? 주어진 문제는 땅에서 던져진 공의 최고 높이를 묻는 질문이다. 주어진 식에서 Vertex를 찾는 응용문제다. Vertex는 (2, 12) 가 되므로 정답은 h(2) = 12 이다.

2015-07-13

[미국 수학의 정석] 요즘 학생들 필기 대신 스마트폰 촬영…꼼꼼한 필기 내용은 수업 복습에 좋아

수업시간에 필기하는 방법도 시간이 갈수록 변하고 있다. 그런데 이런 변화가 가르치는 사람들이나 배우는 사람들에게 과연 유리한 것인지 의문이 들 때가 많다. 필자가 고등학교에 다니던 시대에는 누구나 공책과 연필 또는 볼펜으로 필기를 해야 했었다. 그런데 요즘은 학생들이 수업시간에 판서를 스마트폰 카메라로 찍는 풍경이 매우 보편화 되었다. 필기를 직접 하지 않고 카메라로 찍으면 시간이 절약된다는 장점이 있다. 요즘 많이 보급되어 사용되는 스마트보드라고 하는 최첨단 칠판 역시 많은 것들을 가능하게 해준다. 칠판에 동영상을 띄울 수도 있고 복잡한 도형들도 아주 정확하고 쉽게 그려주기도 한다. 그런데 이런 첨단 기기들이 강사들과 학생들에게 항상 긍정적으로만 작용하는 것 같지는 않다. 수학 선생님들의 입장에서 칠판 판서를 하는 모습 자체를 보여주는 것이 학생들에게 매우 다양하고 중요한 의미들이 있었다. 문제들이 어떤 속도로 어떻게 풀리는가를 보여주는 것이나 풀이 과정 중간에 나오는 연산들이 얼마나 복잡한가 등에 대한 여러 다양한 정보들이 판서과정 그 자체로 학생들에게 전달되었다. 요즘처럼 빔 프로젝터를 사용해서 프로그램으로 미리 입력한 답이나 설명들을 보여주는 것이 시청각적으로 화려하고 멋있어 보일지는 모르나 예전의 선생님들이 칠판 판서를 통해서 보여주시던 열정은 별로 느껴지지 않는다고 보는 사람들도 매우 많다. 물론 주관적인 의견이다. 전반적으로 요즘 학생들이 보여주는 수업 필기 내용들의 정리 정돈의 능력은 공책이나 볼펜 같은 전통적인 필기도구 사용이 익숙하던 시절의 학생들보다 현저하게 뒤떨어진다. 필기 내용들을 어떻게 정리해야 하는지 그 자체를 모르는 학생들도 매우 많다. 수업시간 도중에 사진을 찍어간 내용을 공책에 차근차근 따로 정리하면서 복습하는 학생들을 찾아보기는 정말로 하늘에서 별을 따는 수준이다. 대다수의 학생이 사진 찍은 내용들을 머릿속에 옮겨 놓고 저장하는 것이 아니라 그냥 스마트폰에 저장해서 가지고 다니는 경우들이 대다수다. 바로 며칠 전에 배웠던 내용이 나오면 많은 학생이 스마트폰에 찍어 놓은 그림들을 찾는 광경들을 매우 쉽게 볼 수 있다. 필자가 학교에 다니던 시절에는 책에다 질문들을 노트하는 모습들을 종종 볼 수 있었다. 저자와 또는 자기 자신과 마치 토론을 하는 것처럼 "이유가 뭘까? 이런 경우에도 적용이 되나?" 같은 질문들을 책에 적어가면서 마치 대화하듯이 읽곤 하는 모습들을 쉽게 볼 수 있었다. 요즘은 그런 메모를 하면서 공부하는 학생들을 만나기가 참 어려워진 것 같다. 오답 노트를 만드는 학생들을 만나기는 더욱 어렵다. 수업시간에 학생들에게 종종 하는 이야기가 있다. 지금 노트한 것을 몇 달이나 몇 년 후에라도 다시 보게 되면 무슨 내용을 어떻게 다루고 있었는지 금방 다시 알아볼 정도로 자세하게 적으라고 한다. 수학 문제의 경우 특히 더 그렇다. 문제를 반드시 쓰고 (문제를 쓰지 않고 풀이만 적는 학생들이 정말 많다!) 풀이 과정을 적으면서 실수했던 과정들까지도 지우고 다시 쓰지 말고 왜 틀렸는지 어쩌다가 그런 실수를 했는지 까지도 메모를 하라고 이야기한다. 가르치는 현장에서 항상 느끼는 사실이지만 공부를 잘하는 학생들의 노트 필기는 참 많이 다르다. 본받을 만한 습관이다.

2015-06-19

[미국 수학의 정석] 요즘 학생들 필기 대신 스마트폰 촬영

수업시간에 필기하는 방법도 시간이 갈수록 변하고 있다. 그런데 이런 변화가 가르치는 사람들이나 배우는 사람들에게 과연 유리한 것인지 의문이 들 때가 많다. 필자가 고등학교에 다니던 시대에는 누구나 공책과 연필, 또는 볼펜으로 필기를 해야 했었다. 그런데 요즘은 학생들이 수업시간에 판서를 스마트폰 카메라로 찍는 풍경이 매우 보편화 되었다. 필기를 직접 하지 않고 카메라로 찍으면 시간이 절약된다는 장점이 있다. 요즘 많이 보급되어 사용되는 스마트보드라고 하는 최첨단 칠판 역시 많은 것들을 가능하게 해준다. 칠판에 동영상을 띄울 수도 있고, 복잡한 도형들도 아주 정확하고 쉽게 그려주기도 한다. 그런데 이런 첨단 기기들이 강사들과 학생들에게 항상 긍정적으로만 작용하는 것 같지는 않다. 예전 수학 선생님들 중에는 직선이나 원을 굉장히 잘 그리는 분들이 많았다. 직선은 자로 잰 듯이 똑바르게 그리고, 손으로 그린 원은 거의 컴퍼스를 사용해서 그런 것처럼 여겨질 정도였다. 수학 선생님들의 입장에서 칠판 판서를 하는 모습 자체를 보여주는 것이 학생들에게 매우 다양하고 중요한 의미들이 있었다. 문제들이 어떤 속도로 어떻게 풀리는가를 보여주는 것이나, 풀이 과정 중간에 나오는 연산들이 얼마나 복잡한가 등에 대한 여러 다양한 정보들이 판서과정 그 자체로 학생들에게 전달되었다. 요즘처럼 빔 프로젝터를 사용해서 프로그램으로 미리 입력한 답이나 설명들을 보여주는 것이 시청각적으로 화려하고 멋있어 보일지는 모르나, 예전의 선생님들이 칠판 판서를 통해서 보여주시던 열정은 별로 느껴지지 않는다고 보는 사람들도 매우 많다. 물론 주관적인 의견이다. 전반적으로 요즘 학생들이 보여주는 수업 필기 내용들의 정리 정돈의 능력은 공책이나 볼펜 같은 전통적인 필기도구 사용이 익숙하던 시절의 학생들보다 현저하게 뒤떨어진다. 필기 내용들을 어떻게 정리해야 하는지 그 자체를 모르는 학생들도 매우 많다. 수업시간 도중에 사진을 찍어간 내용을 공책에 차근차근 따로 정리하면서 복습하는 학생들을 찾아보기는, 정말로 하늘에서 별을 따는 수준이다. 대다수의 학생이 사진 찍은 내용들을 머릿속에 옮겨 놓고 저장하는 것이 아니라, 그냥 스마트폰에 저장해서 가지고 다니는 경우들이 대다수다. 바로 며칠 전에 배웠던 내용이 나오면 많은 학생이 스마트폰에 찍어 놓은 그림들을 찾는 광경들을 매우 쉽게 볼 수 있다. 필자가 학교에 다니던 시절에는 책에다 질문들을 노트하는 모습들을 종종 볼 수 있었다. 저자와 또는 자기 자신과 마치 토론을 하는 것처럼, "이유가 뭘까? 이런 경우에도 적용이 되나?" 같은 질문들을 책에 적어가면서 마치 대화하듯이 읽곤 하는 모습들을 쉽게 볼 수 있었다. 요즘은 그런 메모를 하면서 공부하는 학생들을 만나기가 참 어려워진 것 같다. 오답 노트를 만드는 학생들을 만나기는 더욱 어렵다. 수업시간에 학생들에게 종종 하는 이야기가 있다. 지금 노트한 것을 몇 달이나 몇 년 후에라도 다시 보게 되면, 무슨 내용을 어떻게 다루고 있었는지 금방 다시 알아볼 정도로 자세하게 적으라고 한다. 수학 문제의 경우 특히 더 그렇다. 문제를 반드시 쓰고 (문제를 쓰지 않고, 풀이만 적는 학생들이 정말 많다!) 풀이 과정을 적으면서 실수했던 과정들까지도, 지우고 다시 쓰지 말고, 왜 틀렸는지, 어쩌다가 그런 실수를 했는지 까지도 메모를 하라고 이야기한다. 가르치는 현장에서 항상 느끼는 사실이지만 공부를 잘하는 학생들의 노트 필기는 참 많이 다르다. 본받을 만한 습관이다.

2015-06-14

[미국 수학의 정석] '단기간 고득점'은 없다

내년 3월부터 시행될 개정SAT를 앞두고 서울에서는 학원 홍보전이 한창이다. 개정된 SAT를 보는 학생들은 소위 말하는 '실험동물(guinea pig)'이 된다며, 지금 현재 예비 9학년이라도 학년 구분없이 기존의 SAT시험을 봐서 끝내야 한다고, 그러기 위해서 올 여름방학에 SAT 학원을 열심히 다녀야 한다는 내용이다. 한 9학년 학부모는 "여름방학에 아이를 캠프에 보내고 가족 여행도 구상하고 있다가 우연히 SAT 학원 설명회를 참석해서 설명을 듣고 나니 내가 뭔가 크게 잘못하고 있나? 하는 생각에 너무 불안하다"고 할 정도다. 대략 2002년까지 미국에 유학 온 한국 고등학생들이 SAT시험에서 특히 Critical Reading 섹션에서 600점 이상 점수를 받는 경우는 매우 드문 경우였다. 일례로, 하버드, 예일 같은 아이비리그로 진학하는 학생들도 보통 토플에서 600점, CR에서 550점 정도를 받는 경우들이 대부분이었다. 이 당시 한인 유학생들에게 CR 600점은 깨기 어려운 불가능의 점수로 인식되었다. 2005년 SAT시험 개정이 이루어지고 나서, 600점 이상 점수가 나오는 유학생들이 갑자기 쏟아져 나오기 시작했다. 개정됐기 때문보다 SAT 학원들이 많이 생겨난 것도 원인이겠지만, 가장 큰 원인 중의 하나가 인터넷의 발달이었다. 칼리지보드가 SAT 시험 문제들을 재사용한다는 사실이 널리 알려지고 나서 SAT시험 문제들이 유출되기 시작했고, 학원가에 유출된 SAT시험 문제들이 유입, 축적되기 시작했다. 이후 정말로 순수하게 실력을 향상시키기보다는, 문제와 정답을 주입시키는 수업 방식의 SAT 학원들이 급증했고, 그에 따라 학생들의 SAT시험 점수가, 실력과 무관하게, 향상된 것도 사실이다. 요즘은 CR 600점은 그리 높은 점수가 아니라고 인식되는 상황이다. 이게 과연 영어 실력의 향상으로 나오는 점수인지, 학생들이 학원가에서 칼리지보드의 시험문제들에 오랜 시간 노출되어서 나오는 거품인지에 대한 논란은 여전히 분분하다. 지난 3월 2일자 워싱턴포스트 보도에 따르면, 칼리지보드는 SAT문제 유출 파문들에 대해 대외적으로는 침묵으로 일관하는 상황이다. 하지만, 학생들에게는 침묵하지 않고 있다. '시험에서의 부정행위가 의심이 되는데 조사를 제대로 받을 것인지, 아니면 (미국 캐나다에 국한해서) 시험을 다시 보던지, 아니면 시험 취소를 하고 환불을 받던지, 셋 중 하나를 선택하라'는 이메일을 매우 많은 학생에게 발송하고 있다. SAT 시험점수가 나오는 기간이 두 달 걸리는 것이 기본이라고 공공연하게 이야기하는 상황이 되었다. SAT 학원들이 학생들에게 권하는 방법 중 하나가 과목별로 공부하는 것이다. 각기 다른 날짜의 시험에서 CR, Writing, Math 섹션을 각각 과목별로 집중 공략해 시험을 보고 이중 고득점한 섹션의 점수를 합산해 최고 점수를 만드는 형식이다. UC처럼 '단일 시험일의 최고 점수(highest total score from a single test date)'를 요구하는 대학들에는 어려운 이야기지만, 다른 많은 대학이 서로 다른 날짜의 서로 다른 섹션의 고득점들을 각각 고려해주기 때문에 가능한 일이다. 이런 방식으로 시험을 보는 학생들 가운데 각 섹션의 점수차이가 비논리적으로 많이 나는 경우, 예를 들면 CR에서 750점인데 에세이 점수는 12점 만점에 6점 정도일 경우, 칼리지보드는 시험 점수를 알려주지 않고 학생의 선택을 요구하는 이메일을 발송하고 있다. 칼리지보드는 데이터베이스가 해킹당했다고 생각하고 2016년 3월에 개정판이 나오니 더 이상 대응하지 않고 시험점수에 이상이 있다고 판단하는 경우만 무조건 걸러내겠다는 심산인 것 같다. ACT 역시 시험지 불법유출의 의혹을 강하게 받고 있는 상황이다. 지난 3월 10일자 로이터통신도 그러한 의혹을 강하게 지적하는 보도를 전하기도 했다. 대입 시험에서의 고득점은 학생들이나 학부모들에게 너무나도 달콤하고 중독성 강한 치명적인 유혹이다. 하지만 여름 방학은 학생들이 스스로 진정한 '실력'을 향상시킬 수 있는 절호의 기회다. 고득점이라는 달콤한 유혹에 넘어가서 여름방학이라는 소중한 기회를, 학년과 진도에 맞지 않는 공부로 낭비하지 않는 것이 매우 중요하다. 존김수학강사 마스터프렙/압구정동 Prep101 Academy

2015-05-10

[미국 수학의 정석] SAT·미적분 '기하' 기초없으면 힘들어

일반적으로 기하학(Geometry) 과정의 2학기 진도에 포함되어 있기도 하고, 학교에서 제대로 공부하지 않고 넘어가는 부분 중 하나가 장소법(loci)에 대한 것이다. Loci는 locus(위치, 궤적)의 복수형(plural)이다. Locus는 location, 즉 place라는 뜻의 라틴어에서 나온 용어다. 한글로 기억을 하는 것보다 영어로 기억을 하는 편이 훨씬 유리하다. 수학적인 직관력이 요구되는 영역이기도 하다. 어린 학생들이 종이 위에 동그라미나 선들을 직접 그려본 경험들이 굉장히 큰 바탕이 될 수 있는 영역이기도 하다. 요즘처럼, 스마트 폰이나 아이패드 같은 기기들에 너무 일찍 익숙해져 버린 학생들에게는 아주 어려울 수도 있는 영역일 수 있다. 전통적인 방식으로 자(ruler)나 컴퍼스(compass)를 들고 다니면서 원과 도형들을 많이, 직접 그리던 시절의 학생들이 Geometry에 대한 이해가 훨씬 더 우수했다. Locus에 대한 이해는 SAT 시험들 뿐만 아니라, AP Calculus(미적분)을 공부할 때도 굉장히 많이 요구되는 중요한 부분이다. 학부모들도 기본적인 콘셉트를 알아둬야 자녀의 수학 수준을 확인할 수 있다. 아례 예제를 통해 기본적인 내용을 알아두자. ▶예제 1: 평면에서 주어진 선분의 양쪽 끝 점에서의 각각의 거리가 서로 같은 점들을 표현하시오. (Describe all points that are equidistant from the endpoints of a given segment in a plane.) 정답은 '주어진 선분의 수직 이등분선'이라고 해야 한다. (Perpendicular bisector of the given segment.) ▶예제 2: 공간에서 주어진 선분의 양쪽 끝 점에서의 각각의 거리가 서로 같은 점들을 표현하시오. (Describe all points that are equidistant from the endpoints of a given segment in space.) 바로 위의 문제와 비슷해 보이지만, 다른 문제다. 평면에서 존재하느냐, 공간에서 존재하느냐에 따라 완전히 다른 결과가 나온다. 정답은 '주어진 선분의 수직 이등분선을 포함하는 평면(A plane that contains the perpendicular bisector of the given segment.)' 이다. ▶예제 3: 공간에서 주어진 직사각형의 각각의 4개의 꼭지점에서 같은 거리에 있는 모든 점들을 표현하시오. (Describe all points that are equidistant from all four vertices of a given rectangle in space.) 정답은 주어진 직사각형의 대각선들의 교차점을 지나는, 직사각형과 수직한 직선이다. (A line perpendicular to the rectangle at the point of intersection of the diagonals of the rectangle.) 학생들에게 자주하는 질문 중에 하나가 '원의 정의(definition of circle)가 무엇일까?'이다. 그런데, 제대로 답을 하는 학생들이 의외로 적다.정답은 '평면에서 주어진 한 점에서 같은 거리만큼 위치하고 있는 모든 점들의 집합'이다. 물론, 영어로도 표현할 줄 알아야 한다. (Set of all points that are equidistant from a given point.) 학생들이 공부하면서 매우 힘들어 하는 것 중에 하나가 '포물선(Parabola)'이다. 물론 '포물선의 정의(definition of parabola)'를 제대로 설명하는 학생을 만나기는 더욱 어렵다. 포물선은 영어로 'A plane curve formed by the locus of points equidistant from a given line and a fixed point not on the line.' 이라고 설명한다. 평면 위에서, 주어진 직선에서부터의 거리와 주어진 직선 위에 있지 않은 다른 한 점에서의 거리가 각각 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다는 뜻이다. 여기서 주어진 직선은 준선(directrix)라고 하고, 다른 한 점을 초점(focus)라고 한다. 원과 비슷한 타원(ellipse)이 있다. 타원의 정의는 'Set of all points in a plane such that the sums the distances from two fixed points in the plane is constant.' 즉, '평면에서 주어진 두 점에서부터의 각각의 거리의 합이 항상 일정한 점들의 집합'이다. 여기서 나오는 주어진, 고정된 두 점들을 foci라고 한다. foci는 focus의 복수형이다. 가끔 수업시간에 학생들이 "뽀끼가 뭐에요?", 또는 "뽁끼?" 라고 질문해서 웃곤 한다.

2015-04-12

미국 수학의 정석…시험에 계산기 사용 허용한 미국 수학…결과는?

'수학 전쟁'이라는 논쟁은 1989년 미국수학교사협의회(NCTM)의 'The Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics'라는 출판물로 촉발되었다. 이 논쟁은 교과서, 수학교육, 수학 교육철학 등 광범위한 영역에 영향을 주었고, 이 영향은 여전히 현재 진행형이라고 할 수 있다. 전통적인 방식에서 개혁하자는 입장의 의견은 원리를 모르는 상태에서 연산이나 풀이 과정을 먼저 습득해서 훈련하는 것보다 일차적으로 실제 생활에서 접하는 수학 개념들에 학생들을 노출시키고, 이해시키고 나서 연산이나 문제풀이 훈련의 능숙함을 이차적으로 키워주자는 주장이다. 반대의 입장은 학생들에게 개념을 이해하기 이전에 어느 정도의 연산(계산)능력을 우선 키워주자는 입장이다. 그리고, 이러한 연산(계산) 능력들은 어느 정도의 암기가 수반되며, 훈련되어야 하고, 계산기를 사용하기 이전에 형성되어야 한다는 주장이다. 결과적으로 미국 초중고 수학교육에 지대한 영향을 가져온 이 싸움에서, 전통적인 교육방식보다 새로운 기술을 사용하자고 주장하는 쪽이 승리해서, 현재 미국의 대부분의 초중고 학교들은 수업시간에 계산기를 사용하고, 이러한 철학에 맞춰 제작된 교과서를 가지고 공부하고 있다. 고등학교 때부터 계산기 사용이 익숙해져서 대학에 진학한 세대들이 졸업을 하고 사회에 나와서 학교에서 수학을 지도하는 경우가 이제는 거의 대부분이다. 이것이 어떤 의미인지는 한국에서 고등학교를 졸업한 (즉, 계산기없이 미적분 문제들을 풀던) 학부모가 미국 고등학교에 재학중인 자녀가 수학 공부를 하는 모습을 (한 손에 계산기를 들고서, 풀이 과정도 별로 쓰지 않는) 보고서, 학부모와 학생이 서로 논쟁을 하게 될 때, 정확하게 이해가 된다. 물론, 명문이라고 알려진 학교들에는 여전히 계산기 사용을 금지하는 수학 선생님들을 비교적 쉽게 만날 수 있다. 현재 미국 고등학교에서 보편적으로 많이 쓰이는 TI-89 이라는 계산기는180달러 정도로 가격도 매우 비싸다. 요즘 빠르게 보급되고 있는 최신형 TI-Nspire 라는 계산기 역시 비슷한 가격대다. 이들 계산기의 성능은 한국에서 고등학교를 졸업한 사람이라면, 전혀 상상할 수 없을 정도로, 아니 경악을 금할 수 없을 정도로 너무 우수하다. 이차 방정식(Quadratic equation)의 해(Solution)를 구하기 위해서 근의 공식(Quadratic Formula)을 알아야 할 필요가 없다. 'solve' 라는 버튼의 사용법만 알면 계산기가 답을 찾아준다. 로그 함수나 삼각함수의 그래프를 그리려고 노력할 필요도 없다. 주어진 식을 계산기에 넣어주면 알아서 그림을 친절하게 그려주고, 그래프의 축소와 확대 기능은 기본이고, 서로 다른 함수들의 교차점이나 최대, 최소값도 척척 찾아준다. 심지어, 주어진 식의 미분과 적분도 계산기가 알아서 다 해준다. 그리고, 이러한 최첨단 계산기들은 계산기 자체의 메모리(RAM 또는 Flash Rom)에, 미지수, 수식, 프로그램, 도표, 텍스트파일, 목록 등이 저장되기도 한다. 이런 최첨단 기능을 갖춘 계산기들은 SAT시험에서도 사용이 허용되는데, 시험지 부정유출에 매우 중요한 역할을 하기도 한다. 워싱턴포스트의 2015년 1월 29일자 보도에 따르면 Fair Test 로 알려진 National Center for Fair & Open Testing은 SAT 시험의 불법 유출 정답들이 시험이 실시되기 이전에, 시험에서 허용되는 계산기에 미리 저장되어 관련 학생들에 제공된다. 수학 전쟁이라는 논쟁에서 계산기 허용을 선택한 미국의 선택이 과연 바람직했을까? PISA (program for international student assessment) 수학 랭킹에서 미국은 2003년에는 총 41개국 중에서 22위, 2012년에는 총 65개국 중에서 36위를 차지하고 있다는 것은 많은 것을 시사한다.

2015-03-15

[미국 수학의 정석] '기울기' 공식 외워야 미적분 문제풀이에 도움

미국 수학이나 한국수학이나 모두 중요하게 다루는 개념 중에 하나가 '기울기(slope)'다. 기울기는 'gradient'이라고도 한다. 그럼 기울기란 무엇일까? 미국에서 처음 기울기를 배울 때 학생들이 만나는 개념은 "Rise over Run"이다. 'Rise'라고 하는 것은 위 아래로 변화하는 것을 나타내는 것이고, 'run'이라는 개념은 왼쪽 또는 오른쪽으로 변화하는 것을 나타내는 것이다. 그럼, 무엇이 변화하는 것일까? 우선 기울기라는 것을 정의하려면, 서로 다른 2개의 점들이 있어야 한다. 예를 들면, (1, 2)와 (4, 7)이 주어졌다고 하자. 위 아래로 변화되는 것은 2와 7의 문제이고, 왼쪽 또는 오른쪽으로 변화하는 것은 1과 4의 문제이다. 이 경우의 기울기는 "5 over 3", 즉 3분의 5가 된다. 곁가지 이야기이지만, 분수를 이야기할 때 한국식으로 표현하는 방법과 미국식 표현하는 방법은 정 반대가 된다. 보통 처음 단계에서는 "Rise over Run"에서 시작을 해서, 그 다음 단계에서는 "change in y over change in x"라고 이야기를 한다. 이것을 "△y over △x"라고 쓰고, "delta y over delta x"라고 읽는다. 역시 기울기를 의미한다. 좀 더 현실적인 문제들로 발전하게 되면, 서로 다른 두 점, (x¹, y¹), (x², y²), 이 주어졌을 때, 이 두 점 사이의 기울기를 'y²-y¹/ x²-x¹'이라고 한다. 미국에서나 한국에서나 이것은 매우 중요한 공식이다. 함수의 개념을 이해하게 되면 y=f(x)를 응용해서 같은 함수 위에 있는 서로 다른 두 점을 (x, f(x)), (x+h, f(x+h))로 표현할 수 있는데, 이 경우의 기울기는 "f(x+h)-f(x)/(x+h)-(x)"로 정리가 된다. 조금 더 정리를 하면 "(f(x+h)-f(x)/h"가 되는데 이것을 "Difference Quotient"라고 부른다. 지금까지 이야기한 것은 서로 다른 두 점 사이의 기울기를 이야기한 것이고, 여기서 극한(Limit)의 개념이 추가되어서 생각한다면, h가 한없이 0에 가까워지는 경우를 생각해볼 수 있다. 그래서 결론적으로 나오는 기울기는 더 이상 서로 다른 두 점 사이의 기울기가 아니라, 한 점에서의 기울기라고 할 수 있는데, 우리는 이것을 "(first) derivative", 한국 수학에서는 '(일차) 도함수' 또는 '미분 계수'라고 부른다. 앞에서 이야기한 'Difference Quotient'부터는 'Calculus(미적분)'의 시작 부분에서 만나게 되는 기울기다. 기울기를 처음 공부하게 되면 항상 따라나오는 게 "equation of a line(직선의 방정식)"이다. 미국 수학에 익숙한 학생과 한국 수학에 익숙한 학생들의 접근하는 방식의 미묘한 차이를 발견할 수 있는 부분이다. 문제를 가지고 생각해보자. Find the equation of the line that passes through (1, 3) and that has a slope of 2. 한국 수학으로 공부한 학생들은 대부분 y=mx+b라는 직선의 방정식에서 먼저 기울기 2를 대입해 y=2x+b를 만들고, 다음에 (1, 3)을 대입해서 b(y-intercept, y절편)의 값을 찾아서, 정답은 y=2x+1이라고 적는다. 미국 수학에 익숙한 학생들 중에서도 물론 같은 방식으로 이야기하는 학생들이 있지만, 다른 방식으로 답을 찾는 학생들도 매우 많다. 먼저 (y-3)=x(x-1)이라고 식을 세우고 y=2x+1이라고 정리하는 방식이다. 이 경우에는 "point-slope formula"를 사용했다고 이야기한다. 수업시간에 이 문제를 풀다 보면, 학생들은 "둘 다 답이 같다"고 이야기한다. 하지만 나중에 미적분을 공부할 때는 이 'point-slope formula'를 알면 도움이 되는 문제들을 종종 만나게 된다.

2015-02-15

[교육]미국 수학의 정석…문제로 풀어본 인수분해 이야기

인수분해는 한국이나 미국이나 중고등학교에서 많이 만나게 되고, 오랜 시간 기억하게 되는 영역이다. 그만큼 중요한 부분이다. 우선 문제를 풀어보며 인수분해가 무엇인 지 생각해보자. "The sum of A and B is 4 and the product of A and B is 3. Find the values of A and B." A와 B의 합(Sum)은 4이고, 곱은 3인데, A 와 B의 값은 무엇인가를 묻는 질문이다. 정답은 1과 3이다. "The sum of A and B is -4 and the product of A and B is 3. Find the values of A and B." A와 B의 합은 -4이고, 곱은 3인데, A 와 B의 값은 무엇인가를 묻는 질문이다. 정답은 -1 과 -3이다. "The sum of A and B is 2 and the product of A and B is -3. Find the values of A and B." A와 B의 합은 2이고, 곱은 -3인데, A 와 B의 값은 무엇인가를 묻는 질문이다. 정답은 -1 과 3이다. 위의 문제들을 이렇게 바꿔서 생각할 수 있다. "Factor: x² + 4x + 3" 이 문제는 주어진 식을 인수분해 하라는 질문이다. 정답은 (x+1)(x+3) 이다. 다른 문제들도 살펴보면, x² - 4x +3 = (x-1)(x-3), 그리고 x² + 2x -3 = (x-1)(x+3)으로 인수분해할 수 있다. 인수분해는 x절편(x-intercept)을 찾는 경우에 많이 사용된다. x절편은 함수의 그래프가 x축(x-axis)을 통과하는 자리를 의미한다. x-intercepts, roots, solutions, zeros 등은 모두 같은 의미를 갖는다. 예를 들면, "Find the x intercepts of y = x² - 4x +3"과 "Find the zeros of f(x) = x² -4x + 3"는 같은 질문이다. 정답은 1과 3이다. 인수분해가 가능한(Factorable) 이차 함수(Quadratic function)에서 꼭지점(vertex)을 찾을 때 인수분해는 아주 유용하게 쓰일 수 있다. 역시 문제를 가지고 생각해보자. "Find the vertex of f(x) = y = x² - 4x +3" 여기서 꼭지점을 찾기 전에 먼저 x절편을 찾아보면 1과 3인데, 그럼 1과 3의 중점(Midpoint)는 무엇일까? 2가 된다. 그 다음에 y 좌표(y coordinate)를 찾으려면 f(2)의 값을 찾으면 된다. 그럼 최종적으로 꼭지점의 좌표는 (2, -1)이 된다. "The square of a positive number is 10 more than the product of 3 and the number. Find the number." 이 문제를 수식으로 정리하면 x² = 10 + 3x가 된다. 이는 다시 x² - 3x - 10 = 0 으로 정리할 수 있다. 더하면 -3이 되고 곱하면 -10이 되는 두 숫자를 생각해보면 -5와 2를 쉽게 생각할 수 있다. x² - 3x - 10 = (x-5)(x+2) = 0이 된다. 여기서 나오는 식을 만족시키는 값은 5와 -2가 되는데, 문제에서 양수(positive number)라고 했기 때문에 정답은 5가 된다. 존 김 원장 쿨김아카데미(압구정)

2014-12-21

[미국 수학의 정석] 수학이 어려운가요?…수 체계 이해하면 쉽다

가장 작은 숫자 그룹을 '자연수(natural numbers)'라고 하는데 다른 말로는 'counting numbers'라고 부르기도 한다. 자연수 바로 다음으로 큰 수의 그룹은 '범자연수(whole numbers)'라고 한다. 한국에서는 "0과 양의 정수(integers)"라고 한다. 또는 0과 자연수라고 이해할 수도 있다. 자연수와 범자연수의 차이점이라고 하면 '0'이라고 쓰는 'zero'가 유일하다. '범자연수' 다음으로 큰 숫자 그룹은 'Integers'인데 한국에서는 '정수'라고 한다. 정수는 다시 이야기하면 '자연수와 음수(Positive and Negative Whole Numbers)'로 이뤄진 수 체계라고 이해할 수 있다. 정수보다 큰 숫자 그룹은 'Rational numbers'라고 부르며 한국에서는 '유리수'라고 한다. Rational의 사전적 의미는 '합리적인 이성적인'이다. 다른 관점에서 이 단어를 관찰하면 'Ratio-nal'이라고 할 수 있다. 여기서 Ratio는 다시 말하자면 'fraction(분수)' 이다. Fraction의 numerator(분자) denominator(분모)들은 (분모의 경우 '0'이 되는 경우를 제외하고) Integer로 표현이 된다. 수학적으로는 어떤 숫자가 분수로 표현이 되는 경우를 '합리적'이라고 한다. 다시 정리하자면 유리수는 '분수'로 표현되는 수를 의미한다. 분수(Ratio)로 표현되는 것이 왜 합리적인 것인가에 대한 것은 이렇게 생각해 볼 수 있다. 예를 들어 두 사람이 동업을 해서 사업을 시작하는데 매월 수익금을 두 사람이 어떻게 나눌 것인가를 흔히 이야기하는 '몇 대 몇'으로 정하지 않고 '매달 정산할 때마다 상황 봐서 수익을 나누자'라고 합의한 후 동업을 시작했다고 하면 과연 두 사람이 싸우지 않고 사이좋게 사업을 지속해서 운영할 수 있을까? 대다수의 사람이 이런 상황을 보면 매우 '불합리'하다고 생각할 것이다. 그래서 분수로 표현이 되는 것이 합리적인 경우라는 것을 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 그렇다면 분수로 표현이 안 되는 경우의 수는 어떻게 이야기할까? 'Irrational numbers'라고 한다. 한국에서는 '무리수'라고 한다. 유리수.무리수를 이야기할 때 나오는 '리(理)'라는 한자 역시 '사리 이치 도리'를 뜻한다. 그러면 어떤 수가 Irrational한 수일까? Circumference(원주 원의 둘레)와 Diameter(지름)의 비율은 분수로 표현이 안 된다. 그리고 Square의 diagonal의 길이 역시 분수로 표현이 되지 않는다. 지금까지 이야기한 수들을 살펴보면 유리수는 정수를 포함하고 정수는 범자연수를 포함하고 범자연수는 자연수를 포함한다. 그리고 유리수와 다른 영역의 수로서 무리수가 존재한다. 이 모든 수들을 통틀어서 포함하는 수가 '실수(Real numbers)'다. 실제로 존재하는 수를 'Real number'라고 하면 실제로 존재하지 않는 수에 대한 것도 생각해 볼 수 있는데 이것을 '가짜 수'라고 하지 않고 '허수(Imaginary numbers)'라고 이야기한다. 허수를 정의하는 기본 단계는 '어떤 수의 square(어떤 수가 자기 자신과 곱하여졌을 때)가 negative한 값을 갖는다'는 상상(가정)에서 시작한다. Real numbers와 Imaginary numbers를 모두 포함하는 수를 'Complex numbers(복소수)'라고 하는데 미국 고등학교에서 배우는 가장 큰 수의 group이다. 이에 대한 간단한 개념은 보통 Algebra 2에서 다루기 시작하고 삼각함수(Trigonometry)를 공부하고 난 후 Pre-Calculus에서 본격적으로 다룬다.

2014-10-24

[미국 수학의 정석] 고득점 강의의 '독'

30~40년 전 'SAT 학원'이라는 것이 거의 없던 시절이다. 미국의 학부모들은 SAT 같은 대학입학시험은 평소 실력으로 봐야 한다고 생각해서, SAT 기출 문제들을 미리 풀어보고 시험에 응시하는 것 자체를 '부정행위'라고 인식했다고 한다. 하지만 이제는 명문대에 진학하려는 학생이라면, 그리고 경제적인 여건이 허락되는 경우라면, 미리 학원에 가서 기출 문제 내지는 출제 예상 문제들을 풀어보는 것이 필수과정이 된 시대가 되었다. 학원에서 학생들의 기본 실력을 향상시켜 시험 점수가 올라가는 것은 매우 바람직한 일이다. 그러나 실력은 오르지 않았는데 점수만 올랐다고 하면 이것은 잘못된 것이다. 칼리지보드는 QAS(Question and answer service)라는 기출 시험지를 시험 본 학생들에게 18달러를 받고 제공하는데, 이렇게 공개된 기출문제들을 미국이나 한국이나 대부분의 SAT학원들이 모아서 수업교재로 사용하기 때문에 대부분 비슷비슷하다. 칼리지보드가 공개하지 않는 문제들을 불법적으로 유출시켜서 강의하는 학원들도 문제지만, 예전에 사용했던 문제들을 그대로 재사용하고 또 시험지 보안에도 소홀했던 칼리지보드의 책임 역시 매우 크다고 생각한다. 그나마 지난 5월에 SAT Reasoning 시험은 칼리지보드가 이전에 출제한 문제나 지문을 재사용하지 않고 출제했다고 해서 응시생들의 성적이 전반적으로 나빴다는 이야기가 학원가에 떠돌았다. 평상시에 전혀 공부를 하지 않다가 학원에 와서 해결책을 찾는 학생들을 만난다. 이런 경우는 실력을 향상시키기 보다는 아주 짧은 기간에 시험 점수만 보장받기 원한다. SAT 기출문제들을 많이 풀어보는 것은 시험성적 향상에 절대적으로 도움이 된다. 하지만, 문제를 풀고 나서 학생 스스로 채점을 해보고 왜 틀렸는지, 무엇을 몰랐었는지, 문제마다 관련된 개념이 무엇인지 등의 분석을 하지 않으면 시험 성적은 항상 제자리에 머물게 된다. 학원에서도 마찬가지다. SAT 실전 모의고사를 보고 나서 곧바로 학원 강사들의 준비된 문제풀이 강의를 듣는 것은 학생들에게 '도움'이 아니라 반대로 치명적인 '독'이 될 수 있다. 점수를 올리기 위해 여기저기 학원을 옮겨다니던 학생들은 정작 본인이 정말로 알고서 맞췄는지, 아니면 예전에 다른 학원들에서 '구경'했던 문제라서 맞춘 것인지를 고민하게 된다. 샘플 문제에 숫자만 바꿔 넣기를 하면서 계산기를 가지고 문제를 푸는 경우 역시 공부를 한다고 보기 애매하다. 문제를 읽고 답을 찾는 수준이 아니라 문제와 관련된 수학 개념과 출제자의 의도를 파악해야 수학 영역에서의 고득점이 가능하다. 그런데 대다수의 학생들은 아주 짧은 시간 동안 최대한 큰 폭으로 시험 점수를 향상시키기를 원할 뿐이다. 그런 방법 내지는 노하우가 있다고 광고를 하면 거짓말이라는 것을 잘 알면서도 '혹시나' 하며 믿고 싶어하는 학생들과 학부모님들이 너무 많다. 남은 시간은 얼마 없는데 학교 성적은 나쁘니 대입 시험점수라도 잘 받아야 되겠다는 다급한 마음 때문일 것이다. 우여곡절 끝에 이런 식으로라도 고득점을 만들었다고 해서, 과연 좋은 것일까? 미국 명문대 한인 학생들의 40% 이상이 졸업을 못하고, 중퇴한다는 언론 보도 기사들은 이런 문제의 결과를 시사하고 있다는 생각이 든다.

2014-09-14

[미국 수학의 정석]기초 대수학·기하학 과정은 필수, 건너뛰지 않고 차근히 공부해야

많은 학부모가 다가오는 여름방학을 앞두고 새 학기에 필요한 과정을 어떻게 준비해야 할지 걱정하시고 질문하신다. 이 중에서도 "기초 대수학(Pre-Algebra)을 학교에서 안 하고 대수학 1로 바로 가고 싶다"거나 "기하학(Geometry)을 건너뛰고 대수학 2를 배우고 싶다"는 내용이 많다. 그만큼 학생이나 (특히 한국에 있는 유학생) 학부모들은 수학 진도를 건너뛰고 빨리 나가는 것에 매우 매력을 느낀다. 만약 진도를 건너뛸 수 있다면 어떤 과정을 건너뛰는 것이 좋을까? 현장에서 학생들을 지도한 경험을 바탕으로 조언한다면 기초 대수학과 기하학은 건너뛰지 않는 것이 좋다. 일반적으로 학부모님들이 많이 오해하는 것 중의 하나가 기초 대수학은 대수학 1의 바로 전 단계라서 그리 중요하지 않다고 생각한다. 기초 대수학은 앞으로 대수학 1, 기하학, 대수학 2에서 무엇을 배울지 펼쳐서 보여주는 의미가 있다. 그렇다면 기하학은 어떤 중요한 역할을 할까? SAT 시험을 준비하는 학생들 중에서 독해(Critical Reading)를 잘하고, 작문(Writing)도 잘하는데 수학시험 점수는 잘 나오지 않는 경우를 종종 만난다. 대부분 기하학을 학교에서 공부하지 않고 건너뛴 학생들이다. 기초 미적분학(Pre-Calculus)에서 A를 받던 학생인데 AP Calculus 수업을 시작하자마자 성적이 갑자기 뚝 떨어지는 학생들도 있다. 그리고 좀처럼 점수가 오르지 않는 학생들도 잘 살펴보면 기하학을 건너뛴 학생들이 매우 많다. 또 많이 받는 질문은 "학교에서는 AP Calculus AB를 듣고 시험은 AP Calculus BC를 치르고 싶다"는 것이다. 이런 질문은 미국에 계신 학부모들은 거의 하지 않는 고민이지만, 미국에 유학을 보낸 한국에 거주하는 학부모들에게는 아주 흔한 고민이다. 하지만, 이 고민은 AP Calculus 수업의 성격이나 칼리지보드가 운영하는 AP시험의 성격을 전혀 모르기 때문에 생긴다. 또 학원 강사들에게 잘못된 정보를 받는 부분도 있다. 학교에서 AP Calculus AB를 듣고 있는 학생이 시험은 BC를 선택해서 본다고 해서 미국 대학들이 결코 "와~" 하지 않는다. (11학년이 아닌) 12학년 학생들 중에서 AP시험 당일에 병원에 가거나 집에 사고가 생겨서 시험을 못 보는 학생들은 생각보다 의외로 많다. 반면에 11학년 학생이 AP시험 당일에 시험장에 나오지 않는 경우는 극히 드물다. 칼리지보드가 운영하는 AP Calculus 시험을 살펴보면 미국의 일반적인 명문 공립학교들의 AP Calculus 수업시간에 다루는 내용의 60% 정도밖에는 안 된다. 대학에서 보고 싶어하는 것은 학생이 일 년 동안 (고등학교 수업시간에) 그 어려운 AP과정을 잘 이수했는지를 보는 것이지, 학원에 가서 BC 내용까지 열심히 배워서 시험을 얼마나 잘 봤는가는 결코 아니다. 오히려 학원에 다녀서 만들어내는 점수에 경악하고 그런 학생들을 골라내서 떨어뜨리려고 하는 추세다. 한국의 학교 수학 진도는 타인종 학생들과 비교해서 2, 3년이 먼저 앞서나가는데, 영어나 역사 수업 진도는 오히려 뒤처진다면 수학 진도를 빨리 나가는 것은 전혀 매력적이지 않고 오히려 감점요인이 될 수 있다. 일례로 SAT 2 서브젝트 시험에서 수학 Level 2를 선택하지 않는 학생들은 정말로 찾아보기 어렵지만, 반면 SAT 2 서브젝트 시험에서 문학(Literature)을 선택해서 보는 학생을 만나기도 정말 어렵다. 한국에서 매년 실시되는 SAT 2 서브젝트 시험 문학을 선택하는 학생 수는 아마 5명이 채 되지 않을 것 같다. SAT 2 서브젝트 수학 Level 2에서 800점을 받은 학생과 문학시험에서 800점을 받은 학생 중에서 과연 미국 대학은 누구를 더 좋아할까? 학생과 학부모가 생각해 봐야 할 문제다.

2014-06-29

미주중앙일보 - 미주 최대 한인 뉴스 미디어