"뫼비우스의 띠"란 무엇인가요?

독일에서 태어난 아우구스트 페르디난트 뫼비우스(1790-1868)는 1858년 종이 띠를 그저 단순하게 서로 붙이는 것이 아니라, 서로 붙이기 전에 끝을 180도 돌린다는 아이디어를 생각해냈다. 그것이 뫼비우스의 띠인 것이다. ,우리가 종이 띠 하나를 평범하게 붙인다면 거기에는 안과 밖이 존재할 것이다. 바깥쪽을 한 가지 색깔로 칠하고, 안쪽은 다른 색깔로 칠할 수 있다.

그러나 뫼비우스의 띠는 이와는 완전히 다르다. 내부와 외부의 차이가 사라지는 것이다. 한 지점에서 색깔을 칠하기 시작해서 계속해서 칠하면 마지막에는 그 띠를 모두 칠하게 된다! 다시 말해서 뫼비우스의 띠에는 오로지 한 쪽 면밖에 없다. 우리가 가장자리를 따라 손으로 띠를 쓰다듬는다면 손을 떼지 않고 모든 가장자리를 쓰다듬게 된다.

종이로 된 뫼비우스의 띠를 그 중심선을 따라서 절반으로 자르면 흥미진진해진다. 띠가 둘로 나눠질까? 절대 아니다. 거기에는 단 하나의 띠, 길이는 두 배이고 너비는 절반인 단 하나의 띠가 생겨나는 것이다. 더 놀라운 일은 뫼비우스의 띠를 1/3만큼 잘라낼 때 생긴다. 오른쪽 가장자리에서 1/3 떨어진 지점에 가위를 찔러 넣고 계속 오른쪽 가장자리와 동일한 간격을 둔 채로 모비우스의 띠를 잘라보면 이제 띠가 둘로 나눠진다.

얇은 뫼비우스의 띠와 길이가 두 배인 띠가 생기고, 이 둘은 서로 얽혀 있게 된다.
이는 실용성도 가지고 있다. 우리가 타자기와 프린터에 잉크 리본을 쓰던 그 시절을 기억할 것이다. 띠가 내장된 카트리지를 타자기나 프린터 안에 넣고 잉크 리본의 한쪽이 다 소모되면 카트리지를 끄집어내 뒤집어 넣어야 했다. 그러나 잉크 리본을 뫼비우스의 띠로 만들어 넣은 카트리지에서는 리본 양쪽의 잉크가 동일한 속도로 소모되기 때문에 카트리지를 뒤집을 필요가 없었던 것이다.

이점봉 기자