[미국 수학의 정석] 경우마다 제시되는 답 제각각이듯…자녀 실력 따라 공부법도 달라져야

수학을 힘들어하는 자녀가 많습니다. 하지만, 부모들은 '그걸 못하느냐'며 이해하지 못하는 경우가 대부분입니다. 그래서 부모들을 위해 문제를 준비해봤습니다. 수학과목이 얼마나 많이 바뀌었는지 일일이 설명하는 것보다는 문제 한 개를 풀어보는 게 더 빠르기 때문입니다. 그리고 문제를 읽다 보면 우리 자녀의 수학 진도가 결코 만만치 않다는 걸 실감할 수 있습니다. 아래 문제는 대수과정(Algebra) 또는 미적분 기초과정(Precalculus)에서 배우는 '확률의 경우의 수' 부분입니다. 아래 문제를 풀다보면 경우에 따라 답이 달라집니다. 학생의 실력에 따라 공부법도 달라져야 한다는 것을 증명하는 것 같습니다.

1) 4명의 학생이 줄을 선다면 서로 다른 순서의 경우들이 몇 개가 생길까요?

맨 첫 번째 자리에 올 수 있는 학생들은 4명이 됩니다. 그리고 맨 첫 번째 자리에 한 명이 서고 나면, 두 번째 자리에 올 수 있는 학생들은 3명이 됩니다. 그러면, 4명 중에서 2명이 줄을 섰으니까, 세 번째 자리에 올 수 있는 학생은 2명이 됩니다. 마지막 자리에는 1명이 남겠지요.

다른 방법으로 정답이 4! 라고 할 수 있는데, 이것을 영어로 “four factorial” 이라고 읽습니다.

Factorial은 ‘차례 곱’ 이라는 의미입니다. 4!의 값은 24입니다. 4부터 1까지 차례대로 모두 곱한다는 이야기입니다.

2) 1, 2, 3, 4의 순서만 바꿔서 서로 다른 네 자리 숫자가 몇 개가 생길까요? 표현만 다를 뿐이지, 위의 1번과 같은 문제입니다.

3) 1, 1, 2, 3의 순서만 바꿔서 서로 다른 네 자리 숫자가 몇 개가 생길까요?

이것은 좀 다른 문제입니다. 1123 같은 4자리 숫자가 순서가 서로 다른 경우들이 얼마나 되는지를 묻는 문제입니다. 1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121, 3211, 해서 모두 12가지의 경우들이 생길 수 있습니다.

4) 1, 1, 2, 2의 순서만 바꿔서 서로 다른 네 자리 숫자가 몇 개가 생길까요?

이 문제는 앞의 문제와의 차이가 겹치는 숫자들이 2개가 있다는 점입니다. 1122와 같은 4자리 숫자가 순서가 서로 다른 경우들이 얼마나 되는지를 묻는 문제입니다. 1122, 1212, 1221, 2112, 2121, 2211, 그러면 모두 6가지의 경우가 생깁니다. 1234라는 숫자와 1123이라는 숫자는 분명히 다른 경우입니다. 1234는 각각의 자리의 수들이 모두 다른 경우고, 1123은 자리의 수들 중에 같은 것이 있는 경우입니다.

1123의 경우는 ‘4! 나누기 2!’라고 생각을 해보면, 24 나누기 2가 되어서 12가 됩니다.

그럼, 1122의 경우는 어떻게 될까요? ‘4! 나누기 (2! 곱하기 2!)’이라고 생각할 수 있겠죠? 그럼 6이 됩니다.

반복되는 것이 있는 경우는 그 숫자만큼의 factorial 값으로 나누어주면 됩니다.

동전을 4번 반복해서 던진다고 하면, 서로 다른 경우가 몇 가지가 생길까요? 앞면(Head)이 4번 나오는 경우도 있고, 3번 나오는 경우도 있고, 2번, 1번 또는 전혀 안 나오는 경우들이 가능할 것입니다. 만약에 4번 모두 앞면이라고 한다면, HHHH라고 쓸 수 있는데, 이 경우는 1가지 경우밖에 없습니다. ‘4! 나누기 4!’라고 생각하면 됩니다.
앞면이 3번 나오는 경우는 뒷면(Tail)이 한 번 나온다는 이야기입니다. 그러면, HHHT의 경우인데, 이것은 ‘4! 나누기 3!’ 그래서, 4가지 경우가 됩니다. 앞면과 뒷면이 각각 2번씩 나온다고 하면, HHTT그래서, ‘4! 나누기 (2! 곱하기 2!)’, 그래서 6가지가 되겠죠?

앞면이 1번 나오는 경우도 생각해보면, HTTT, 그래서, ‘4! 나누기 3!’ 그래서, 4가지 경우가 됩니다.

마지막으로 앞면이 한 번도 안 나오는 경우는 TTTT 그러면, ‘4! 나누기 4!’ 고로 1가지 경우라고 생각하면 됩니다. 가능한 경우의 수들을 모두 더해보면, 1가지, 4가지, 6가지, 4가지, 1가지 들을 더하는 것과 같고, 그러면, 모두 16가지의 경우들이 가능하게 됩니다.

동전은 앞면과 뒷면 2가지 서로 다른 경우를 만들 수 있는데, 동전을 4번 던지면, 이것은 '2x(곱하기) 2x 2x2'가 되어서 모두 16가지 경우라는 똑같은 값이 나옵니다.

존 김 원장/쿨김아카데미