[미국 수학의 정석] 정확한 문제 해석이 정답 산출의 비결…다양한 유형 많이 풀어볼수록 도움돼

연말이라 들떠 있는 학생들이 많지만 수학 문제는 오늘도, 내일도 계속 풀어야 한다. 비슷하지만 서로 다른 문제들을 가지고 생각해보려고 한다.

1. A box contains 9 balls. 4 of them are black and the rest are white. If 2 balls are randomly picked one by one without replacement, what is the probability that both are black?

"상자 안에 9개의 공이 들어있는데, 4개는 검은 색이고, 나머지 5개는 흰색이다. 만약 2개의 공을 하나씩 뽑았는데, 다시 넣지 않고 뽑을 경우, 뽑힌 2개의 공이 모두 검은색일 확률은 얼마일까?"라는 문제다. 정답 산출 공식은 "(4/9) x (3/8)"이며 답은 "1/6"이다.

2. A box contains 9 balls. 4 of them are black and the rest are white. If 2 balls are randomly picked one by one with replacement, what is the probability that both are black?

"상자 안에 9개의 공이 들어 있는데, 4개는 검은 색이고, 나머지 5개는 흰색이다. 만약 2개의 공을 하나씩 뽑았는데, 뽑고 확인한 뒤 다시 넣어 또 뽑았을 경우 뽑힌 2개의 공이 모두 검은색일 확률은 얼마인가?"

정답은 "(4/9) x (4/9)=(16/81)"이다. 1번과 2번의 문제의 차이는 상자에서 공을 뽑아 확인한 후 다시 상자에 넣은 후 뽑느냐, 아니면 뽑힌 것은 상자에 다시 넣지 않느냐를 파악해서 그 차이를 이해하는 것이 포인트다.

3. A box contains 9 balls. 4 of them are black and the rest are white. If 3 balls are randomly picked one by one without replacement, what is the probability that 2 balls are black and 1 ball is white?

"상자 안에 9개의 공이 있는데 4개는 검은 색이고, 나머지 5개는 흰색이다. 만약 3개의 공을 하나씩 뽑았는데, 다시 넣지 않고 뽑은 경우 뽑힌 2개의 공은 검은색이고 나머지 하나는 하얀색일 확률은 얼마인가?"

정답은 "(4/9) x (3/8) x (5/7) x (3)"= (5/14)이다.

4. A box contains 9 balls. 4 of them are black and the rest are white. If 3 balls are randomly picked one by one with replacement, what is the probability that 2 balls are black and 1 ball is white?

"상자 안에 9개의 공이 있는데, 4개는 검은 색이고, 나머지 5개는 흰색이다. 만약 3개의 공을 하나씩 뽑았는데 확인하고 다시 넣고, 또 뽑는 것을 반복하는 경우, 뽑힌 2개의 공은 검은색이고, 나머지 하나는 흰색일 확률은 얼마인가?" 정답은 "(4/9) x(4/9) x (5/9) x(3) = (80/243)이다.

위의 3번과 4번의 문제에서 생각해야 하는 첫 번째 포인트는 위의 1번과 2번의 경우와 비슷하다.

3번에서는 곱해지는 분모(Denominator)가 9, 8, 7이었고, 4번에서의 분모들은 9, 9, 9 로 같다는 것이다. 두 번째로 생각해야 하는 포인트는 "곱하기 3"의 이유다. 그건 "Black-Black-White, Black -White-Black, White-Black-Black" 이렇게 세 가지의 경우가 가능하기 때문이다.

지금까지 살펴본 문제들은 매우 간단해 보이지만, 많은 학생이 두려워하는 문제들이기도 하다. 앞의 문제 중에서 어떤 문제는 조합(Combination)의 개념을 가지고 풀 수도 있고, 어떤 문제는 이항정리(Binomial Theorem)를 이용해서 풀 수도 있다. SAT와 같은 대학입학 시험에서도 많이 출제되는 문제들이라 알아두면 유리하다.

존 김 수학 강사·마스터프렙/압구정동 Prep101 Academy