[미국 수학의 정석] 이차 함수(Quadratic function)의 이해

존 김 원장/쿨김아카데미

일전에 이야기했던 Factoring(인수분해)에서 연결되는 개념이다. 이차함수(Quadratic function)를 공부하는 데에 가장 기본이 되는 것은 x절편(x-intercept), y절편(y-intercept), 그리고, 꼭짓점(vertex)을 찾는 것이라고 할 수 있다. 우선 x-intercept에 대한 고민을 해보자.


1) "Find the zeros (x-intercepts) of "f(x) = x² - 4x + 3"의 정답은 1 과 3이다.

2) "Find the zeros (x-intercepts) of "f(x) = x² - 5x + 6"의 정답은 -2 와 -3 이다.

3) "Find the zeros (x-intercepts) of "f(x) = x² - 8x + 15"의 정답은 3 과 5이다.

위의 1번 문제에서 Sum of zeros는 4이고, product of zeros는 3이다.

위의 2번 문제에서 Sum of zeros는 5이고, product of zeros는 6이다.

위의 3번 문제에서 Sum of zeros는 8이고, product of zeros는 15이다.

여기서 정리할 수 있는 개념이 0 = x² + Ax + B를 만족시키는 x 의 값들의 합(Sum of zeros)은 -A 라는 것이고, 곱(product of zeros)은 B 라는 것이다.

주어진 식이 0 = Ax² + Bx + C 라고 한다면, 모든 항(term)들을 a로 나누어서 생각을 해보면, 0 = x² + (B/A) x + (C/A) 라는 식으로 정리가 되는데, 여기서 Sum of zeros는 -B/2A 가 된다.

1번에서 Vertex를 찾는 방법은 여러 가지가 있다. x² - 4x + 3 = (x-2)² -1로 바꾸는 완전 제곱 꼴로의 변형(Completing a square)을 하는 것이 그 중 한 방법이고, 여기서 (x-2)² = 0 이 되도록 하는 x의 값을 찾는 것을 대칭축(Axis of Symmetry)을 찾는 것과 같다는 것을 이해하는 것도 중요한 포인트다.

여기서 Axis of Symmetry가 vertex의 coordinate(좌표)이 된다.

1번에서 Sum of zeros는 4라는 것을 알면, 여기서 바로 Average (Arithmetic mean) of zeros를 찾을 수 있는데, 이것이 vertex의 coordinate이 된다. 보통 학생들이 x=-b/2a 라고 외우는 식은 바로 Average (Arithmetic mean) of zeros를 찾는 방법과 같다.


1번에서 찾은 Average (Arithmetic mean) of zeros는 2인데, 이것을 x에 대입해서 y값을 찾으면, (2, -1) 이라는 vertex를 쉽게 찾을 수 있다.


A ball is thrown from the ground. Its flight path is modeled by h(t) = -3t² + 12t where h(t) is the distance of the ball above the ground in meters and t is the time counted after the ball is thrown in seconds. What is the ball's maximum height from the ground?

주어진 문제는 땅에서 던져진 공의 최고 높이를 묻는 질문이다. 주어진 식에서 Vertex를 찾는 응용문제다. Vertex는 (2, 12) 가 되므로 정답은 h(2) = 12 이다.