[미국 수학의 정석] SAT·미적분 '기하' 기초없으면 힘들어

존 김 원장/쿨김아카데미

일반적으로 기하학(Geometry) 과정의 2학기 진도에 포함되어 있기도 하고, 학교에서 제대로 공부하지 않고 넘어가는 부분 중 하나가 장소법(loci)에 대한 것이다. Loci는 locus(위치, 궤적)의 복수형(plural)이다. Locus는 location, 즉 place라는 뜻의 라틴어에서 나온 용어다. 한글로 기억을 하는 것보다 영어로 기억을 하는 편이 훨씬 유리하다. 수학적인 직관력이 요구되는 영역이기도 하다.

어린 학생들이 종이 위에 동그라미나 선들을 직접 그려본 경험들이 굉장히 큰 바탕이 될 수 있는 영역이기도 하다. 요즘처럼, 스마트 폰이나 아이패드 같은 기기들에 너무 일찍 익숙해져 버린 학생들에게는 아주 어려울 수도 있는 영역일 수 있다. 전통적인 방식으로 자(ruler)나 컴퍼스(compass)를 들고 다니면서 원과 도형들을 많이, 직접 그리던 시절의 학생들이 Geometry에 대한 이해가 훨씬 더 우수했다.

Locus에 대한 이해는 SAT 시험들 뿐만 아니라, AP Calculus(미적분)을 공부할 때도 굉장히 많이 요구되는 중요한 부분이다. 학부모들도 기본적인 콘셉트를 알아둬야 자녀의 수학 수준을 확인할 수 있다. 아례 예제를 통해 기본적인 내용을 알아두자.

▶예제 1: 평면에서 주어진 선분의 양쪽 끝 점에서의 각각의 거리가 서로 같은 점들을 표현하시오. (Describe all points that are equidistant from the endpoints of a given segment in a plane.)

정답은 '주어진 선분의 수직 이등분선'이라고 해야 한다. (Perpendicular bisector of the given segment.)

▶예제 2: 공간에서 주어진 선분의 양쪽 끝 점에서의 각각의 거리가 서로 같은 점들을 표현하시오. (Describe all points that are equidistant from the endpoints of a given segment in space.) 바로 위의 문제와 비슷해 보이지만, 다른 문제다. 평면에서 존재하느냐, 공간에서 존재하느냐에 따라 완전히 다른 결과가 나온다. 정답은 '주어진 선분의 수직 이등분선을 포함하는 평면(A plane that contains the perpendicular bisector of the given segment.)' 이다.

▶예제 3: 공간에서 주어진 직사각형의 각각의 4개의 꼭지점에서 같은 거리에 있는 모든 점들을 표현하시오. (Describe all points that are equidistant from all four vertices of a given rectangle in space.)

정답은 주어진 직사각형의 대각선들의 교차점을 지나는, 직사각형과 수직한 직선이다. (A line perpendicular to the rectangle at the point of intersection of the diagonals of the rectangle.)

학생들에게 자주하는 질문 중에 하나가 '원의 정의(definition of circle)가 무엇일까?'이다. 그런데, 제대로 답을 하는 학생들이 의외로 적다.정답은 '평면에서 주어진 한 점에서 같은 거리만큼 위치하고 있는 모든 점들의 집합'이다. 물론, 영어로도 표현할 줄 알아야 한다. (Set of all points that are equidistant from a given point.)

학생들이 공부하면서 매우 힘들어 하는 것 중에 하나가 '포물선(Parabola)'이다. 물론 '포물선의 정의(definition of parabola)'를 제대로 설명하는 학생을 만나기는 더욱 어렵다. 포물선은 영어로 'A plane curve formed by the locus of points equidistant from a given line and a fixed point not on the line.' 이라고 설명한다. 평면 위에서, 주어진 직선에서부터의 거리와 주어진 직선 위에 있지 않은 다른 한 점에서의 거리가 각각 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다는 뜻이다. 여기서 주어진 직선은 준선(directrix)라고 하고, 다른 한 점을 초점(focus)라고 한다.

원과 비슷한 타원(ellipse)이 있다. 타원의 정의는 'Set of all points in a plane such that the sums the distances from two fixed points in the plane is constant.' 즉, '평면에서 주어진 두 점에서부터의 각각의 거리의 합이 항상 일정한 점들의 집합'이다. 여기서 나오는 주어진, 고정된 두 점들을 foci라고 한다.

foci는 focus의 복수형이다. 가끔 수업시간에 학생들이 "뽀끼가 뭐에요?", 또는 "뽁끼?" 라고 질문해서 웃곤 한다.