[미국 수학의 정석] '기울기' 공식 외워야 미적분 문제풀이에 도움

존 김 원장
쿨김 아카데미

미국 수학이나 한국수학이나 모두 중요하게 다루는 개념 중에 하나가 '기울기(slope)'다.

기울기는 'gradient'이라고도 한다. 그럼 기울기란 무엇일까? 미국에서 처음 기울기를 배울 때 학생들이 만나는 개념은 "Rise over Run"이다. 'Rise'라고 하는 것은 위 아래로 변화하는 것을 나타내는 것이고, 'run'이라는 개념은 왼쪽 또는 오른쪽으로 변화하는 것을 나타내는 것이다.

그럼, 무엇이 변화하는 것일까? 우선 기울기라는 것을 정의하려면, 서로 다른 2개의 점들이 있어야 한다.

예를 들면, (1, 2)와 (4, 7)이 주어졌다고 하자. 위 아래로 변화되는 것은 2와 7의 문제이고, 왼쪽 또는 오른쪽으로 변화하는 것은 1과 4의 문제이다. 이 경우의 기울기는 "5 over 3", 즉 3분의 5가 된다. 곁가지 이야기이지만, 분수를 이야기할 때 한국식으로 표현하는 방법과 미국식 표현하는 방법은 정 반대가 된다.

보통 처음 단계에서는 "Rise over Run"에서 시작을 해서, 그 다음 단계에서는 "change in y over change in x"라고 이야기를 한다. 이것을 "△y over △x"라고 쓰고, "delta y over delta x"라고 읽는다. 역시 기울기를 의미한다.

좀 더 현실적인 문제들로 발전하게 되면, 서로 다른 두 점, (x¹, y¹), (x², y²), 이 주어졌을 때, 이 두 점 사이의 기울기를 'y²-y¹/ x²-x¹'이라고 한다. 미국에서나 한국에서나 이것은 매우 중요한 공식이다. 함수의 개념을 이해하게 되면 y=f(x)를 응용해서 같은 함수 위에 있는 서로 다른 두 점을 (x, f(x)), (x+h, f(x+h))로 표현할 수 있는데, 이 경우의 기울기는 "f(x+h)-f(x)/(x+h)-(x)"로 정리가 된다. 조금 더 정리를 하면 "(f(x+h)-f(x)/h"가 되는데 이것을 "Difference Quotient"라고 부른다.

지금까지 이야기한 것은 서로 다른 두 점 사이의 기울기를 이야기한 것이고, 여기서 극한(Limit)의 개념이 추가되어서 생각한다면, h가 한없이 0에 가까워지는 경우를 생각해볼 수 있다. 그래서 결론적으로 나오는 기울기는 더 이상 서로 다른 두 점 사이의 기울기가 아니라, 한 점에서의 기울기라고 할 수 있는데, 우리는 이것을 "(first) derivative", 한국 수학에서는 '(일차) 도함수' 또는 '미분 계수'라고 부른다.

앞에서 이야기한 'Difference Quotient'부터는 'Calculus(미적분)'의 시작 부분에서 만나게 되는 기울기다.

기울기를 처음 공부하게 되면 항상 따라나오는 게 "equation of a line(직선의 방정식)"이다. 미국 수학에 익숙한 학생과 한국 수학에 익숙한 학생들의 접근하는 방식의 미묘한 차이를 발견할 수 있는 부분이다. 문제를 가지고 생각해보자.

Find the equation of the line that passes through (1, 3) and that has a slope of 2.

한국 수학으로 공부한 학생들은 대부분 y=mx+b라는 직선의 방정식에서 먼저 기울기 2를 대입해 y=2x+b를 만들고, 다음에 (1, 3)을 대입해서 b(y-intercept, y절편)의 값을 찾아서, 정답은 y=2x+1이라고 적는다.

미국 수학에 익숙한 학생들 중에서도 물론 같은 방식으로 이야기하는 학생들이 있지만, 다른 방식으로 답을 찾는 학생들도 매우 많다. 먼저 (y-3)=x(x-1)이라고 식을 세우고 y=2x+1이라고 정리하는 방식이다. 이 경우에는 "point-slope formula"를 사용했다고 이야기한다.

수업시간에 이 문제를 풀다 보면, 학생들은 "둘 다 답이 같다"고 이야기한다. 하지만 나중에 미적분을 공부할 때는 이 'point-slope formula'를 알면 도움이 되는 문제들을 종종 만나게 된다.