[교육]미국 수학의 정석…문제로 풀어본 인수분해 이야기

인수분해는 한국이나 미국이나 중고등학교에서 많이 만나게 되고, 오랜 시간 기억하게 되는 영역이다. 그만큼 중요한 부분이다. 우선 문제를 풀어보며 인수분해가 무엇인 지 생각해보자.

"The sum of A and B is 4 and the product of A and B is 3. Find the values of A and B."
A와 B의 합(Sum)은 4이고, 곱은 3인데, A 와 B의 값은 무엇인가를 묻는 질문이다. 정답은 1과 3이다.

"The sum of A and B is -4 and the product of A and B is 3. Find the values of A and B."
A와 B의 합은 -4이고, 곱은 3인데, A 와 B의 값은 무엇인가를 묻는 질문이다. 정답은 -1 과 -3이다.

"The sum of A and B is 2 and the product of A and B is -3. Find the values of A and B."
A와 B의 합은 2이고, 곱은 -3인데, A 와 B의 값은 무엇인가를 묻는 질문이다. 정답은 -1 과 3이다.

위의 문제들을 이렇게 바꿔서 생각할 수 있다.

"Factor: x² + 4x + 3"
이 문제는 주어진 식을 인수분해 하라는 질문이다. 정답은 (x+1)(x+3) 이다.

다른 문제들도 살펴보면, x² - 4x +3 = (x-1)(x-3), 그리고 x² + 2x -3 = (x-1)(x+3)으로 인수분해할 수 있다.

인수분해는 x절편(x-intercept)을 찾는 경우에 많이 사용된다. x절편은 함수의 그래프가 x축(x-axis)을 통과하는 자리를 의미한다. x-intercepts, roots, solutions, zeros 등은 모두 같은 의미를 갖는다.

예를 들면, "Find the x intercepts of y = x² - 4x +3"과 "Find the zeros of f(x) = x² -4x + 3"는 같은 질문이다. 정답은 1과 3이다.

인수분해가 가능한(Factorable) 이차 함수(Quadratic function)에서 꼭지점(vertex)을 찾을 때 인수분해는 아주 유용하게 쓰일 수 있다. 역시 문제를 가지고 생각해보자.

"Find the vertex of f(x) = y = x² - 4x +3"
여기서 꼭지점을 찾기 전에 먼저 x절편을 찾아보면 1과 3인데, 그럼 1과 3의 중점(Midpoint)는 무엇일까? 2가 된다.

그 다음에 y 좌표(y coordinate)를 찾으려면 f(2)의 값을 찾으면 된다. 그럼 최종적으로 꼭지점의 좌표는 (2, -1)이 된다.

"The square of a positive number is 10 more than the product of 3 and the number. Find the number."
이 문제를 수식으로 정리하면 x² = 10 + 3x가 된다. 이는 다시 x² - 3x - 10 = 0 으로 정리할 수 있다. 더하면 -3이 되고 곱하면 -10이 되는 두 숫자를 생각해보면 -5와 2를 쉽게 생각할 수 있다.
x² - 3x - 10 = (x-5)(x+2) = 0이 된다. 여기서 나오는 식을 만족시키는 값은 5와 -2가 되는데, 문제에서 양수(positive number)라고 했기 때문에 정답은 5가 된다.

존 김 원장
쿨김아카데미(압구정)