[미국 수학의 정석] 수학이 어려운가요?…수 체계 이해하면 쉽다

존 김 수학 강사 / 마스터프렙/압구정동·Prep101 Academy

가장 작은 숫자 그룹을 '자연수(natural numbers)'라고 하는데 다른 말로는 'counting numbers'라고 부르기도 한다.

자연수 바로 다음으로 큰 수의 그룹은 '범자연수(whole numbers)'라고 한다. 한국에서는 "0과 양의 정수(integers)"라고 한다. 또는 0과 자연수라고 이해할 수도 있다. 자연수와 범자연수의 차이점이라고 하면 '0'이라고 쓰는 'zero'가 유일하다.

'범자연수' 다음으로 큰 숫자 그룹은 'Integers'인데 한국에서는 '정수'라고 한다. 정수는 다시 이야기하면 '자연수와 음수(Positive and Negative Whole Numbers)'로 이뤄진 수 체계라고 이해할 수 있다.

정수보다 큰 숫자 그룹은 'Rational numbers'라고 부르며 한국에서는 '유리수'라고 한다. Rational의 사전적 의미는 '합리적인 이성적인'이다. 다른 관점에서 이 단어를 관찰하면 'Ratio-nal'이라고 할 수 있다. 여기서 Ratio는 다시 말하자면 'fraction(분수)' 이다.

Fraction의 numerator(분자) denominator(분모)들은 (분모의 경우 '0'이 되는 경우를 제외하고) Integer로 표현이 된다. 수학적으로는 어떤 숫자가 분수로 표현이 되는 경우를 '합리적'이라고 한다. 다시 정리하자면 유리수는 '분수'로 표현되는 수를 의미한다.

분수(Ratio)로 표현되는 것이 왜 합리적인 것인가에 대한 것은 이렇게 생각해 볼 수 있다.

예를 들어 두 사람이 동업을 해서 사업을 시작하는데 매월 수익금을 두 사람이 어떻게 나눌 것인가를 흔히 이야기하는 '몇 대 몇'으로 정하지 않고 '매달 정산할 때마다 상황 봐서 수익을 나누자'라고 합의한 후 동업을 시작했다고 하면 과연 두 사람이 싸우지 않고 사이좋게 사업을 지속해서 운영할 수 있을까? 대다수의 사람이 이런 상황을 보면 매우 '불합리'하다고 생각할 것이다.

그래서 분수로 표현이 되는 것이 합리적인 경우라는 것을 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

그렇다면 분수로 표현이 안 되는 경우의 수는 어떻게 이야기할까? 'Irrational numbers'라고 한다. 한국에서는 '무리수'라고 한다. 유리수.무리수를 이야기할 때 나오는 '리(理)'라는 한자 역시 '사리 이치 도리'를 뜻한다.

그러면 어떤 수가 Irrational한 수일까? Circumference(원주 원의 둘레)와 Diameter(지름)의 비율은 분수로 표현이 안 된다. 그리고 Square의 diagonal의 길이 역시 분수로 표현이 되지 않는다.

지금까지 이야기한 수들을 살펴보면 유리수는 정수를 포함하고 정수는 범자연수를 포함하고 범자연수는 자연수를 포함한다. 그리고 유리수와 다른 영역의 수로서 무리수가 존재한다.

이 모든 수들을 통틀어서 포함하는 수가 '실수(Real numbers)'다. 실제로 존재하는 수를 'Real number'라고 하면 실제로 존재하지 않는 수에 대한 것도 생각해 볼 수 있는데 이것을 '가짜 수'라고 하지 않고 '허수(Imaginary numbers)'라고 이야기한다. 허수를 정의하는 기본 단계는 '어떤 수의 square(어떤 수가 자기 자신과 곱하여졌을 때)가 negative한 값을 갖는다'는 상상(가정)에서 시작한다.

Real numbers와 Imaginary numbers를 모두 포함하는 수를 'Complex numbers(복소수)'라고 하는데 미국 고등학교에서 배우는 가장 큰 수의 group이다. 이에 대한 간단한 개념은 보통 Algebra 2에서 다루기 시작하고 삼각함수(Trigonometry)를 공부하고 난 후 Pre-Calculus에서 본격적으로 다룬다.